第一章 数制与编码0609

第一章数制与编码 主要内容 各种进位计数制及其相互转换 带符号数的表示方法 常用的一般编码 1进位计数制 一 十进制数的表示 数码个数10个 计数规律 数制 进位计数制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 逢十进1 借一当10 数码的个数和计数规律是进位计数制的两个决定因素 计数体制 计数方法 高位进位 本位归0 例 123 45 1 102 2 101 3 100 4 10 1 5 10 2 例 123 45读作一百二十三点四五 计数法 例 123 45读作一百二十三点四五 例 123 45 1 102 2 101 3 100 4 10 1 5 10 2 N 10 an 1 10n 1 an 2 10n 2 a1 101 a0 100 a 1 10 1 a 2 10 2 a m 10 m 基与基数 用来表示数的数码的集合称为基 0 9 集合的大小称为基数 十进制为10 即表示某种进位计数制所具有的数字符号的个数称为基数 也叫模 在十进制中 10的整幂次方称为10进制数的权 即表示某种进位计数制不同位置上数字的单位值 位置不同显示的数值大小不同 权 例 二 其它进制其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广 对任意进制R 数N可以表示成按权展开式 N R an 1 Rn 1 an 2 Rn 2 a1 R1 a0 R0 a 1 R 1 a 2 R 2 a m R m N R an 1an 2 a1a0 a 1a 2 a m R 权值一般用十进制表示 R 2二进制 数码个数2个 计数规律 例 0 1 逢二进1 借一当2 11011 01 2 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 0 2 1 1 2 2 1 10 100 1 10 11 0 10 10 1 10 1 1 10 0 0 10 1 1 10 10 权值一般用十进制表示 二进制数的特点 只有两个数码 很容易用物理器件来实现 运算规则简单 可使用逻辑代数这一数学工具 节省设备 节省设备的说明 1 设n是数的位数R是基数Rn 最大信息量nR Rn个数码所需设备量例 n 3 R 10 R 10n 103 1000nR 3 10 30R 2时 为使2n 1000n 10 Rn 1024 nR 10 2 20同样为1000的信息量 二进制比十进制节省设备 2 唯一性证明N Rn N为最大信息量 LnN nLnR令C LnNC nLnR两边同乘R RC nRLnR可求得 R e 2 718 R 8八进制 数码个数8个 计数规律 例 0 1 2 3 4 5 6 7 逢八进1 借一当8 176 5 8 1 82 7 81 6 80 5 8 1 1 10 2 7 10 1 6 10 0 5 10 1 R 16十六八进制 数码个数16个 计数规律 例 其它进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 10 15 逢十六进1 借一当16 FA1 C 16 F 162 A 161 1 160 C 16 1 F 10 2 A 10 1 1 10 0 C 10 1 如六进制 十二进制 二十四进制 六十进制等 书P5表1 1 1所列各进制对应值要求熟记 几种常用数制的表示方法 2数制转换 说明 转换是任意的 方法 多项式替代法基数乘除法混合法直接转换法 10 10 10 K K 一 多项式替代法 R 10 11011 11 2 10 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 1 2 1 1 2 2 1680210 50 25 27 75 10 321 4 8 10 3 82 2 81 1 80 4 8 1 1921610 5 209 5 10 例1 例2 二 基数乘除法 10 R 整数的转换 基数除法规则 除基取余 商零为止例1 解 例2 解 25 10 2 25 10 11001 2 54 10 16 54 10 36 16 小数的转换 基数乘法 规则 乘基取整 满足精度要求为止例3 例4 解 例5 解 0 125 10 2 0 125 10 0 001 2 0 125 10 0 02 4 0 125 10 4 29 93 10 2 29 93 10 11101 111011 2 小数的精度 若求出的是有限位小数 标明已求出准确的转换小数 若求出的是无限位小数 标明转换出的小数存在误差 取数原则 等精度转换 等精度转换 按题意要求 设 进制有i位小数 转换后 进制有j位小数 等精度转换 续 转换后应使 1 j 1 I即 I j 故 取满足不等式的最小整数 例 0 3021 10 16 已知精度为 0 1 410 解 10 16 I 4 取j 4 按题意要求 例 0 3021 10 2 要求精度0 1 解 例 0 3021 10 8 要求精度0 01 解 取j 10 取j 5 三 混合法 10 例 2022 3 8解 2022 3 2 33 0 32 2 31 2 30 62 10 76 8 四 直接转换法 K K 一般在二 八 十六进制之间转换 八进制与二进制之间的转换 10011100101101001000 01 B 010011100101101001000 010 B 2345510 2 O 从小数点开始3位一组 不足补0 不足补0 十六进制与二进制之间的转换 10011100101101001000 01 B 10011100101101001000 0100 B 9CB48 4 H 不足补0 从小数点开始4位一组 反之 345 7 O B 345 7 O 011100101 111 B 1位八进制对应3位二进制 27B 7C H B 27B 7C H 001001111011 01111100 B 1位十六进制对应4位二进制 1001111011 011111 B 3带符号数的代码表示一 符号数 真值 在数值前加 号表示正数 在数值前加 号表示负数 机器数 把符号数值化的表示方法称 用 0 表示正数 用 1 表示负数 例 真值机器数 9 100101001 9 100111001 符号位 二 原码 常用的机器数有 原码 反码 补码其符号位规则相同 数值部分的表示形式有差异 组成 特点 符号位 数值位正 0不变负 1 例 X1 1101 X1 原 01101X2 1101 X2 原 11101 直观易辨认 有2个0 符号不参与运算 数值范围 三 反码 组成 特点 符号位 数值位正 0不变负 1取反 例 X1 1101 X1 反 01101X2 1101 X2 反 10010 正数的反码同原码 负数的反码数值按位取反 有2个0 反码的反码为原码 数值范围 X1 1101 X1 反 10010 X1 反 反 11101 X1 原 特点 续 两数和的反码等于两数反码之和 符号位参与运算 有进位时循环相加 例 已知X1 1100X2 1010求Y1 X1 X2 Y2 X2 X1 解 X1 反 01100 X1 反 10011 X2 反 01010 X2 反 10101 Y1 反 X1 反 X2 反 00010 Y1 0010 Y2 反 X2 反 X1 反 11101 Y2 0010 四 补码 组成 特点 符号位 数值位正 0不变负 1取反 1 例 X1 1101 X1 补 01101X2 1101 X2 补 10011 正数的补码同原码 负数的补码数值按位取反 1 只有1个0 补码的补码为原码 数值范围 X1 1101 X1 补 10011 X1 补 补 11101 X1 原 特点 续 两数和的补码等于两数补码之和 符号位参与运算 有进位时丢弃 例 已知X1 1100X2 1010求Y1 X1 X2 Y2 X2 X1 解 X1 补 01100 X1 补 10100 X2 补 01010 X2 补 10110 Y1 补 X1 补 X2 补 00010 Y1 0010 Y2 补 X2 补 X1 补 11110 Y2 0010 补码的补充说明 数学上 补码与其真值构成了以某一值 计算机的字长 为模的 模数系统 或 同余 结构的代数系统 计量器的容量 在某一模数系统中 模数为N 如果a b的余数相同 则称a b模N同余 例 17和33在模16系统中同余1 同余 模 补码的应用 4编码 一 二 十进制编码数字电路中编码的方式很多 常用的主要是二 十进制码 BCD码 BCD Binary Coded Decimal用四位二进制数表示0 9十个数码 即为BCD码 四位二进制数最多可以有16种不同组合 不同的组合便形成了一种编码 主要有 8421码 5421码 2421码 余3码等 二进制数 自然码 8421码 2421码 5421码 余三码 简称8421码 按4位二进制数的自然顺序 取前十个数依次表示十进制的0 9 后6个数不允许出现 若出现则认为是非法的或错误的 8421码是一种有权码 每位有固定的权 从高到低依次为8 4 2 1 如 8421码 0111 8421BCD 0 8 1 4 1 2 1 1 7 8421BCD码 与自然二进制数排列一至 1010 1111为冗余码 8421码与十进制的转换关系为直接转换关系例 00010011 01100100 8421BCD 13 64 10 运算时按逢10进1的原则 并且要进行调整 调整原则 有进位或出现冗余码时 加 6调整 有权码 从左到右为8421 8421码的特点 例 8 9 17 1000 100110001 0110 0111 例 7 6 13 0111 01101101 0110 10011 8421码运算举例 2421BCD码 简称2421码 典型2421码按4位二进制数的自然顺序 取前8个数依次表示十进制的0 7 8和9分别为1110和1111 其余6个数不允许出现 若出现则认为是非法的或错误的 这只是2421码的一种编码方案 2421码是一种有权码 每位有固定的权 从高到低依次为2 4 2 1 如 2421码 0111 2421 0 2 1 4 1 2 1 1 72421码 1110 2421 1 2 1 4 1 2 0 1 8 2421码的编码方案 对九自补 余3码 由8421码加3形成 4 如果两个余3码相加没有进位 则和数要减3 否则和数要加3 1 是一种无权码 2 有六个冗余码 0000 0001 0010 1101 1110 1111 3 对9的自补码 例 4 余3码 0111 5 余3码 1000 0111 9补 1000即0111按位取反 例如 0100 0110 0111 1000 1001 0100 余3码运算 丢弃 无进位减3 有进位加3 二进制数 自然码 8421码 2421码 5421码 余三码 二 可靠性编码 能减少错误 发现错误 甚至纠正错误的编码称为可靠性编码 纠错的三个层次 编码本身不易出错 格雷码 出错能检查出来 奇偶校验码 检查并能纠错 汉明码 纠错是以增加硬件为代价的 格雷码 在一组数的编码中 如果任意相邻的代码只有一位二进制数不同 即为格雷码 1101 B 例 13的格雷码 1011 G 格雷码的特点 汉明距离 1 循环特性n一定时最大数的第n位为1 其余各位为0 具有反射特性第n位为反射位 以第n位的0 1交界处为轴上下对称 一个n位的格雷码 可由n 1位格雷码产生 方法 在n 1位码前加0 再作对称镜像 反射 循环 格雷码应用 循环计数 例 7的典型格雷码为0100 典型二进制格雷码转换成二进制数的方法 0100 G 0111 B 步进码的形成 例 由7的步进码 11100 产生8的步进码 11000 奇偶校验码 组成 信息位 校验位 1位 奇偶校验码 由信息位和校验位 冗余部分 两部分组成 校验位的取值可使整个校验码中的1的个数按事先的规定完成为奇数或偶数 简单的奇偶校验码 以8421BCD码为例 检错 只能检出单个错误或奇数个错 但不能纠错 例 奇校验传送1001 解 校验位P 1 奇校验码为 10011正确传送时 不正确传送时 设接收码为10111 出错 汉明码 可以检验一位错误并且可以自行纠错的可靠性编码 自学 学习要求 熟练掌握各进位计数制间的相互转换熟练掌握一个数原码 反码 补码的表示 以及原码 反码 补码的算术运算 掌