抛物线对称轴与焦点问题1

过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 证明 思路分析 韦达定理 F 过抛物线y2 2px p 0 的焦点的一条直线和抛物线相交 两交点为A x1 y1 B x2 y2 则 3 x1x2 p2 4 y1y2 p2 分析 利用性质焦点F对A B在准线上射影的张角为90 代入抛物线得y2 m s 例1 1 若直线过定点M s 0 s 0 与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 求证 x1x2 s2 y1y2 2ps 证明 设AB的方程为 m s m 2 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 且有x1x2 s2 y1y2 2ps 求证 直线过定点 s 0 s 0 证明 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 则直线过定点M s 0 s 0 x1x2 s2 y1y2 2ps 1 M为焦点 即过 p 2 0 x1x2 p2 4 y1y2 p2 2 M过 p 0 x1x2 4p2 y1y2 4p2 x1x2 p2 y1y2 2p2 3 M过 2p 0 4 M过 3p 0 x1x2 9p2 y1y2 6p2 5 M过 抛物线对称轴上的重要结论 若直线与抛物线y2 2px p 0 交于A x1 y1 B x2 y2 则直线过定点M s 0 s 0 x1x2 s2 y1y2 2ps 1 M为焦点 即过 p 2 0 x1x2 p2 4 y1y2 p2 2 M过 p 0 x1x2 4p2 y1y2 4p2 x1x2 p2 y1y2 2p2 3 M过 2p 0 4 M过 3p 0 x1x2 9p2 y1y2 6p2 5 M过 抛物线对称轴上的重要结论 优化P128强5 优化P132例3 故x1x2 4p2 y1y2 4p2 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 1 AO交准线于C 则直线CB平行于抛线的对称轴 课本P123习题6 例2 过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的一条直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 2 过B作BC 准线l 垂足为C 则AC过原点O共线 2001年高考题 优化P131例1 例3 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 解法一 解法二 例3 已知抛物线y x2 动弦AB的长为2 求AB中点纵坐标的最小值 解 l1 l2 例题5 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 分析 1 如何选择适当的坐标系 2 能否判断曲线段是何种类型曲线 3 如何用方程表示曲线的一部分 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 l1 l2 解法一 由图得 曲线段C的方程为 即抛物线方程 建立如图所示的直角坐标系 原点为O 0 0 O 如图所示 直线L1与L2相交于M点L1 L2 N L2 以A B为端点的曲线段C上的任一点到L1的距离与到点N的距离相等 为锐角三角形 建立适当坐标系 求曲线C的方程 l1 l2 解法二 曲线段C的方程为 建立如图所示的直角坐标系 原点为O 0 0 O y x B A M N Q 曲线段C的方程为 1 直线l过抛物线y2 2px p 0 的焦点且与x轴垂直 若l被抛物线截得的线段长为6 则p 3 2 0 x 2 7 2 4 2 4 3 抛物线的顶点在原点 对称轴为y轴 焦点在x 2y 12 0上 则它的方程为 4 抛物线y2 2x上的