1.1直角三角形的性质和判定（Ｉ）

1 1 1直角三角形的性质与判定 1 八年级数学组 湘潭市益智中学 在一个直角三角形里住着三个内角 平时 它们三兄弟非常团结 可是有一天 老二突然不高兴 发起脾气来 它指着老大说 你凭什么度数最大 我也要和你一样大 不行啊 老大说 这是不可能的 否则 我们这个家就再也围不起来了 为什么 老二很纳闷 你知道其中的道理吗 内角三兄弟之争 老大的度数为90 老二若是比老大的度数大 那么老二的度数要大于90 而三角形的内角和为180 相互矛盾 因而是不可能的 在这个家里 我是永远的老大 情景引入 问题1 如图 在Rt ABC中 C 90 两锐角的和等于多少呢 在Rt ABC中 因为 C 90 由三角形内角和定理 得 A B C 90 即 A B 90 思考 由此 你可以得到直角三角形有什么性质呢 知识精讲 直角三角形的两个锐角互余 几何语言 在Rt ABC中 C 90 A B 90 直角三角形的表示 直角三角形可以用符号 Rt 表示 直角三角形ABC可以写成Rt ABC 总结归纳 知识精讲 方法一 利用平行的判定和性质 B C 90 AB CD A D 方法二 利用直角三角形的性质 B C 90 A AOB 90 D COD 90 AOB COD A D 例1 1 如图 B C 90 AD交BC于点O A与 D有什么关系 图 知识精讲 解 A C 理由如下 B D 90 A AOB 90 C COD 90 AOB COD A C 2 如图 B D 90 AD交BC于点O A与 C有什么关系 请说明理由 图 与图 有哪些共同点与不同点 知识精讲 例2如图 C D 90 AD BC相交于点E CAE与 DBE有什么关系 为什么 解 在Rt ACE中 CAE 90 AEC 在Rt BDE中 DBE 90 BED AEC BED CAE DBE 知识精讲 解 CD AB于点D BE AC于点E BEA BDF 90 ABE A 90 ABE DFB 90 A DFB DFB BFC 180 A BFC 180 变式题 如图 ABC中 CD AB于D BE AC于E CD BE相交于点F A与 BFC又有什么关系 为什么 知识精讲 问题 有两个角互余的三角形是直角三角形吗 如图 在 ABC中 A B 90 那么 ABC是直角三角形吗 在 ABC中 因为 A B C 180 又 A B 90 所以 C 90 于是 ABC是直角三角形 知识精讲 A B C 几何语言 在 ABC中 A B 90 ABC是直角三角形 有两个角互余的三角形是直角三角形 总结归纳 知识精讲 例3如图 C 90 1 2 ADE是直角三角形吗 为什么 解 在Rt ABC中 2 A 90 1 2 1 A 90 即 ADE是直角三角形 知识精讲 例4如图 CE AD 垂足为E A C ABD是直角三角形吗 为什么 解 ABD是直角三角形 理由如下 CE AD CED 90 C D 90 A C A D 90 ABD是直角三角形 知识精讲 问题 如图 画一个Rt ABC 并作出斜边AB上的中线CD 比较线段CD与线段AB之间的数量关系 你能得出什么结论 猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 试给出数学证明 知识精讲 证一证 知识精讲 点D 是斜边上的中点 即CD 是斜边AB的中线 故得 从而CD与CD 重合 且 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 知识精讲 例5已知 如图 CD是 ABC的AB边上的中线 且 求证 ABC是直角三角形 证明 1 A 2 B A B ACB 180 即 A B 1 2 180 2 A B 180 A B 90 ABC是直角三角形 知识精讲 例6如图 在 ABC中 AD是高 E F分别是AB AC的中点 1 若AB 10 AC 8 求四边形AEDF的周长 解 AD是 ABC的高 E F分别是AB AC的中点 DE AE AB 10 5 DF AF AC 8 4 四边形AEDF的周长 AE DE DF AF 5 5 4 4 18 知识精讲 2 求证 EF垂直平分AD 证明 DE AE DF AF E F在线段AD的垂直平分线上 EF垂直平分AD 当已知条件含有线段的中点 直角三角形的条件时 可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解 如图 在 ABC中 ABC 90 BD是斜边AC上的中线 1 若BD 3cm 则AC cm 2 若 C 30 AB 5cm 则AC cm BD cm 6 10 5 巩固提高 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 课堂小结 如图 已知BD CE是 ABC不同边上的高 点G F分别是BC DE的中点 试说明GF DE 解 连接EG DG BD CE是 ABC的高 BDC BEC 90 点G是BC的中点 EG BC DG BC EG DG 又 点F是DE的中点 G