高中数学 3.3.2函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1

3 3 2函数的极值与导数 f x 0 f x 0 复习 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 则为常数 设函数y f x 在某个区间内可导 f x 增函数 f x 减函数 巩固 定义域R f x x2 x x x 1 令x x 1 0 得x1 则f x 单增区间 0 1 令x x 1 0 得0 x 1 f x 单减区 0 2 注意 求单调区间 1 首先注意定义域 2 其次区间不能用 U 连接 第一步 解 第二步 第三步 在x1 x3处函数值f x1 f x3 与x1 x3左右近旁各点处的函数值相比 有什么特点 f x2 f x4 比x2 x4左右近旁各点处的函数值相比呢 观察图像 函数的极值定义 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对X0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数的极大值与极小值统称为极值 极值即峰谷处的值 使函数取得极值的点x0称为极值点 1 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值 2 极大值不一定比极小值大 3 可导函数f x 点是极值点的必要条件是在该点的导数为0 例 y x3 1 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 2 极值点是函数定义域内的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数没有极值 总结 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 如图 1 5 若函数f x 在 a b 上有极值 它的极值点的分布是有规律的 如图 2 所示 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 导数为0的点不一定是极值点 练习 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 探究 极值点处导数值 即切线斜率 有何特点 结论 极值点处 如果有切线 切线水平的 即 f x 0 f x1 0 f x2 0 f x3 0 思考 若f x0 0 则x0是否为极值点 进一步探究 极值点两侧函数图像单调性有何特点 极大值 极小值 即 极值点两侧单调性互异 f x 0 x1 极大值点两侧 极小值点两侧 f x 0 f x 0 f x 0 探究 极值点两侧导数正负符号有何规律 x2 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 注意 1 f x0 0 x0不一定是极值点 2 只有f x0 0且x0两侧单调性不同 x0才是极值点 3 求极值点 可以先求f x0 0的点 再列表判断单调性 结论 极值点处 f x 0 因为所以 例1求函数的极值 解 令解得或 当 即 或 当 即 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值28 3 当x 2时 f x 有极小值 4 3 变式 求下列函数的极值 解 令解得列表 单调递增 单调递减 所以 当时 f x 有极小值 求下列函数的极值 解 解得列表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 求下列函数的极值 解 解得 所以 当x 2时 f x 有极小值 10 当x 2时 f x 有极大值22 解得 所以 当x 1时 f x 有极小值 2 当x 1时 f x 有极大值2 求解函数极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 总结 例2求函数f x x3 2x2 1在区间 1 2 上的最大值与最小值 分析 首先求f x 在 1 2 内的极值 然后将f x 的各极值与f 1 f 2 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 解析 f x 3x2 4x 故f x 最大值 1 f x 最小值 2 点评 利用求最值的步骤求解 1 函数最大值及最小值点必在下面各种点之中 导数等于0的点 导数不存在的点或区间的端点 2 函数在区间 a b 上连续是f x 在 a b 上存在最值的充分而非必要条件 变式 求函数f x x2 4x 6在区间 1 5 内的最大值和最小值 法一 将二次函数f x x2 4x 6配方 利用二次函数单调性处理 故函数f x 在区间 1 5 内的极小值为3 最大值为11 最小值为2 法二 解 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 例3已知f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1时取得极值 且f 1 1 1 试求常数a b c的值 2 试判断x 1时函数取得极小值还是极大值 并说明理由 解析 1 由f 1 f 1 0 得3a 2b c 0 3a 2b c 0 又f 1 1 a b c 1 点评 若函数f x 在x0处取得极值 则一定有f x0 0 因此我们可根据极值得到一个方程 来解决参数 而x10 x 1 再代入f x1 或f x2 得a 2 a 2 b 0 注意 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 思考1 判断下面4个命题 其中是真命题序号为 f x0 0 则f x0 必为极值 f x 在x 0处取极大值0 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值 或极大值 不会多于一个 函数的极值即为最值 有极大值和极小值 求a范围 思考2 解析 f x 有极大值和极小值f x 0有2实根 已知函数 解得a 6或a 3 练习1 求在时极值 练习2 若f x ax3 bx2 x在x 1与x 1处有极值 1 求a b的值 2 求f x 的极值 练习3 已知函数f x x2 2 m 1 x 4在区间 1 5 内的最小值为2 求m的值 练习4 设f x ax3 x恰有三个单调区间 试确定实数a的取值范围 并求出这三个单调区间 小结 1个定义 极