二次函数图像及性质复习课

第26章 二次函数图像及性质复习课 二次函数 一 二次函数的定义 1 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 2 定义要点 1 关于x的代数式一定是整式 a b c为常数 且a 0 2 等式的右边x的最高次数为2 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 如 y x2 y 2x2 4x 3 y 100 5x2 y 2x2 5x 3等等都是二次函数 典型例题 例1 当m取何值时 函数y m 1 2 1是二次函数 分析 根据二次函数的定义 只需满足m 1 0且m2 m 2即可 二 二次函数的图象及性质 当a 0时开口向上 并向上无限延伸 当a 0时开口向下 并向下无限延伸 0 0 0 c h 0 h k 直线 y轴 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 y轴 直线x h 直线x h x h时ymin 0 x h时ymax 0 x h时ymin k x h时ymax k 4 二次函数y a 2 b c图象特征与a b c及 的符号之间的关系 抛物线在坐标系的形状和位置与系数a b c及 的符号之间有着密切的联系 知道图象位置可以确定a b c及 的符号 反过来 由a b c及 的符号可以确定抛物线的大致形状和位置 字母 图象的特征 字母的符号 a b c 开口向上 开口向下 对称轴在y轴上 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与 轴有两个交点 与 轴有唯一交点 与 轴没有交点 a 0 a 0 b 0 a b同号 a b异号 c 0 c 0 c 0 0 0 0 1 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的几个特例 1 当x 1时 2 当x 1时 3 当x 2时 4 当x 2时 y a b c y a b c y 4a 2b c y 4a 2b c o 1 2 二次函数的图象和性质 做一做 抛物线y ax2 bx c如图所示 试确定a b c 的符号 x y o a 0 b 0 c 0 0 例2 函数的开口方向 顶点坐标是 对称轴是 解 顶点坐标为 对称轴是 向上 中考链接 1 05浙江丽水 如图 抛物线的顶点P的坐标是 1 3 则此抛物线对应的二次函数有 A 最大值1 B 最小值 3 C 最大值 3 D 最小值1 B 中考链接 2 05梅州 根据图1中的抛物线 当x时 y随x的增大而增大 当x时 y随x的增大而减小 当x时 y有最大值 2 2 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 A a0 c 0B a0 c0D a 0 b 0 c 0 2 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 A a 0 b 0 c 0B a0 c 0C a0 b 0 c 0 B A o 练习 典型例题 例1 求抛物线y 2 2 5 7的顶点坐标和对称轴 分析 求抛物线的顶点坐标有两种方法 一是利用配方法将一般形式化成顶点式 二是利用顶点坐标公式 二次函数解析式有哪几种表达式 一般式 y ax2 bx c 顶点式 y a x h 2 k 两根式 y a x x1 x x2 2 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 求抛物线解析式的三种方法 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法一 顶点式 设解析式为 顶点C 1 4 又 A 1 0 在抛物线上 a 1 即 h 1 k 4 典型例题 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 解法二 一般式 设解析式为 顶点C 1 4 对称轴x 1 A 1 0 关于x 1对称 B 3 0 A 1 0 B 3 0 和C 1 4 在抛物线上 即 三 应用举例 解法三 两根式 设解析式为 抛物线与x轴的两个交点坐标为A 1 0 B 3 0 y a x 1 x 3 又C 1 4 在抛物线上 4 a 1 1 1 3 a 1 y x 1 x 3 即 例1 已知二次函数的图像如图所示 求其解析式 三 应用举例 1 已知抛物线经过 1 2 0 1 2 7 三点 求抛物线的解析式 分析 已知抛物线上任意三点的坐标 可选用一般式 从而得到关于a b c的三元一次方程组 求出a b c的值 解 设所求抛物线的解析式为y a 2 b c 课堂练习 抛物线经过 1 2 0 1 2 7 三点 2 已知抛物线的顶点为 1 3 与y轴的交点为 0 2 求抛物线的解析式 分析 已知抛物线的顶点坐标 选用顶点式较简捷 解 设抛物线的解析式为y a 1 2 3将 0 y 2代入上式 得a 1 所求抛物线的解析式为y 1 2 3 3 已知抛物线y a 2 b c与 轴交于A 1 0 B 3 0 并且经过点C 0 3 求抛物线的解析式 分析 因为A 1 0 B 3 0 是抛物线与 轴的两个交点 所以选用交点式比较简捷 解 设抛物线的解析式为y a 1 3 将C 0 3 代入 得a 1 所求抛物线的解析式为y 1 3 1 新课程新同步中作业题 已知 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则关于x的方程ax2 bx c 3 0的根的情况为 A 有两个不相等的实数根 B 有两个异号实数根 C 有两个相等的实数根 D 无实数根 能力训练 D 2 如图 一位运动员在距篮下4m处起跳投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离是2 5m时 球达到最大高度3 5m 已知篮筐中心到地面的距离3 05m 问球出手时离地面多高时才能中 球的出手点A的横坐标为 2 5 将x 2 5代入抛物线表达式得y 2 25 即当出手高度为2 25m时 才能投中 解 建立如图所示的直角坐标系 则球的最高点和球篮的坐标分别为B 0 3 5 C 1 5 3 05 拓展练习 如图所示 公园要建造圆形喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA O恰在水面中心 OA 1 25米 由柱子顶端A处的喷头向外喷水 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 为使水流形状较为美观 要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度为2 25米 如果不计其他因素 那么水池的半径至少要多少米 才能使喷出的水流不致落到池外 解 以水面OC所的直线为x轴 柱子OA所