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第二章 函数 函数的值域与最值 第7讲 1 若函数y x2 4x的定义域是 x 1 x 5 x N 则其值域为 解析 分别将x 1 2 3 4代入函数解析式解得y 3 4 3 0 由集合中元素的互异性可知值域是 4 3 0 4 3 0 2 函数y x2 4x x 1 5 的值域是 3 已知函数y log3x的值域为 1 3 则x的取值范围是 4 5 3 27 1 3 1 1 函数的值域 点评 以上各题所用方法是求函数值域常见的方法 1 二次函数法 2 分离系数 亦可用反函数法 3 分段函数法 4 换元法 注意新元的取值范围 5 复合函数转化法 函数值域的应用 例2 已知函数f x x2 bx c b 0 c R 是否存在函数f x 满足其定义域 值域都是 1 0 若存在 求出f x 的表达式 若不存在 请说明理由 点评 含有参数的一元二次函数的定义域与值域相同问题 本质上就是二次函数的最值 求解的关键是通过函数图象进行分析 由函数的最大值与最小值和函数的值域进行比较而得一方程组 再通过方程组的解的存在性进行判断 1 若函数y x2 2x的定义域为 0 1 2 3 则其值域为 2 若定义在R上的函数y f x 的值域为 a b 则y f x 1 的值域为 1 0 3 a b 1 9 3 1 函数的值域求函数值域的方法是依据函数的表达式来选择的 根据表达式的结构 有如下的常见方法可供选择 配方法 换元法 具体函数法 如二次函数 反比例函数 分段函数 基本不等式法 数
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