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7 63圆的方程 三 1 圆的标准方程是 它表示的是 x a 2 y b 2 r2 的圆 以C a b 为圆心 r为半径 2 圆的一般方程是 它表示的是 以C 为 x2 y2 Dx Ey F 0 其中 3 当D2 E2 4F 0时 方程x2 y2 Dx Ey F 0表示 一个点 当D2 E2 4F 0时 方程x2 y2 Dx Ey F 0 不表示任何图形 D2 E2 4F 0 的圆 圆心 以为半径 D x 3 2 y 2 2 16 如图 设 O的圆心在原点 半径是r 与x轴正半轴的交点为P0 圆上任取一点P 若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角 P0OP 求P点的坐标 解 点P在 P0OP的终边上 根据三角函数的定义得 如图 设 O的圆心在原点 半径是r 与x轴正半轴的交点为P0 圆上任取一点P 若OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角 P0OP 求P点的坐标 P0 O的参数方程为 O1的参数方程是 求圆心为O1 a b 半径为r的圆的参数方程 则平移公式为 将 式代入 式得 圆心为 a b 半径为r的圆的参数方程为 1 圆的参数方程有什么特点 2 圆心为 2 3 半径为1 x 1 2 y 1 2 25 3 已知圆的方程是x2 y2 2x 6y 6 0 则它的参数方程为 定义 一般地 在取定的坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数 即 并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点M x y 都在这条曲线上 那么方程组 就叫做这条曲线的参数方程 联系x y之间关系的变数t叫做参变数 简称参数 参数方程中的参数可以是有物理 几何意义的变数 也可以是没有明显意义的变数 解 设M的坐标为 x y 可设点P坐标为 4cos 4sin 点M的轨迹是以 6 0 为圆心 2为半径的圆 由中点公式得 点M的轨迹方程为 例1 如图 已知点P是圆x2 y2 16上的一个动点 点A是x轴上的定点 坐标为 12 0 当点P在圆上运动时 线段PA中点M的轨迹是什么 解 设M的坐标为 x y 点M的轨迹是以 6 0 为圆心 2为半径的圆 由中点坐标公式得 点P的坐标为 2x 12 2y 2x 12 2 2y 2 16 即M的轨迹方程为 x 6 2 y2 4 点P在圆x2 y2 16上 例1 如图 已知点P是圆x2 y2 16上的一个动点 点A是x轴上的定点 坐标为 12 0 当点P在圆上运动时 线段PA中点M的轨迹是什么 解 1 圆x2 y2 2x 2y 0的参数方程为 x y 1 2 sin cos 1 2sin x y min 1 2 当sin 1时 sin 1 1 例2 已知点P x y 是圆x2 y2 2x 2y 0上的一个动点求 1 x y的最小值 2 x2 y2的最大值 当sin 1时 sin 1 1 2 例2 已知点P x y 是圆x2 y2 2x 2y
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