固体物理晶格振动chap3

一维双原子链的模型 一维复式格子的情形 一维无限长链 两种原子m和M M m 构成一维复式格子 M原子位于2n 1 2n 1 2n 3 m原子位于2n 2n 2 2n 4 同种原子间的距离2a 晶格常数 系统有N个原胞包含 个自由度 N个原胞 有2N个独立的方程 两种原子振动的振幅A和B一般来说是不同的 第2n 1个M原子的方程 第2n个m原子的方程 方程解的形式 A B有非零的解 系数行列式为零 第2n 1个M原子 第2n个m原子 方程的解 一维复式晶格中存在两种独立的格波 与q之间存在着两种不同的色散关系 一维复式格子存在两种独立的格波 光学波 声学波 两种格波的振幅 光学波 声学波 相邻原胞之间位相差 M和m原子振动方程 1 q的取值 波矢q的值 采用周期性边界条件 一维双原子链的布里渊区 h为整数 每个波矢的线度 允许的q值的数目 晶体中的原胞数目 a 描写晶格振动的波矢q只能取分立的值 对应一个q有两支格波 一支声学波和一支光学波总的格波数目为2N q的取值 重要结论 晶体中的格波的支数 原胞内原子的自由度一种色散关系 即 q 对应一支格波晶格振动的模式数 晶体中原子的总自由度一种振动模式对应一个 q 2 色散关系的特点 2 1短波极限 两种格波的频率 因为M m 出现 频率的禁带区 不存在格波 频率间隙 2 2长波极限 A声学波 应用 声学波的色散关系就是把一维链看作连续介质时的弹性波 长声学波中相邻原子的振动 原胞中的两个原子振动的振幅相同 振动方向一致 代表原胞质心的振动 B光学波 长波极限 长光学波同种原子振动位相一致 相邻原子振动相反 原胞质心保持不变的振动 原胞中原子之间相对运动 习题 对于NaCl晶体 已知其恢复力常数 1 5 10 1N cm 试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率和最低频率 声学支的最高频率 对于NaCl晶体 其密度 2 18g cm3 正负离子的平衡距离a 2 81 10 10m 光学支格波的最高频率是3 60 10 13rad s 试以一维双原子链模型计算 NaCl的恢复力常数 长声学波的波速 NaCl的体积模量 Cl和Na的原子量分别为35 5和23 0 例题一维复式格子中 如果计算1 光学波频率的最大值和最小值 声学波频率的最大值 2 相应声子的能量 和 3 如果用电磁波激发光学波 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段 4 在下 三种声子数目各为多少 1 声学波的最大频率 光学波的最大频率 光学波的最小频率 2 相应声子的能量 3 如果用电磁波激发光学波 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段 对应电磁波的能量和波长 要激发的声子所用的电磁波波长在红外波段 光学波频率的声子数目 声学波频率的声子数目 根据归一化条件 归一化常数 频率为 谐振子的平均能量 频率为 谐振子的能量 第i个q态的平均数声子 光学波频率的声子数目 声学波频率的声子数目 三维晶格的振动 三维晶格振动的动力学方程组q取值与倒格子空间布里渊区例题 三维复式格子 各原子偏离格点的位移 晶体的原胞数目 原子的质量 第l个原胞的位置 原胞中各原子的位置 一个原胞中有n个原子 三维晶格振动的动力学方程组 第k个原子运动方程 原子在三个方向上的位移分量 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数 其方程的解 将方程解代回3n个运动方程 3n个线性齐次方程 系数行列式为零条件 得到3n个 长波极限 存在3个解 趋于一致 三个频率对应的格波描述不同原胞之间的相对运动 3支声学波 3n 3支长波极限的格波描述一个原胞中各原子间的相对运动 3n 3支光学波 即 1 晶体中的格波的支数 原胞内的自由度数 2 若晶体中一个原胞中有n个原子组成 则有3n支格波 其中3支声学波 3n 3支光学波 3 若晶体为二维结构 则有2n支格波 相应的有2支是声学波 2n 2支光学波 4 若晶体为一维结构 则有n支格波 相应的有1支声学波 n 1支光学波 金刚石有几支声学波 几支光学波 q取值与倒格子空间 波矢 波矢空间的3个基矢 倒格子基矢 3个系数 采用波恩 卡曼边界条件 波矢 波矢空间一个点占据的体积 倒格子原胞体积 状态密度 波矢的取值 h1h2h3 原子振动波函数 波矢改变一个倒格矢 不同原胞之间位相联系 原子振动状态一样 从原子振动考查 q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系 为了得到所有不同的格波 也只需考虑一定范围的q值 q的取值限制在一个倒格子原胞中 第一布里渊区 个取值 由于边界条件允许的q的分布密度为 因此不同q的总数为 倒格子原胞的体积 对应于一个波矢q3支声学波和3n 3支光学波 总的格波数目 结论 1 在简约布里渊区范围内 晶格中振动波矢q数 晶格的原胞数 即存在N个波矢 2 晶格振动的模式数 振动状态数 晶体的总自由度数3nN 正好等于晶体Nn个原子的自由度 上述的格波已概括了晶体的全部振动模 例1 若晶体A为简单立方结构 B为闪锌矿结构 它们立方单胞的边长均为4埃 晶体均为4 4 4cm3 试求 a 原胞体积 b 布里渊区体积 c 每个原胞中原子数 d 晶格中原子数 e 格波总数 f 光学波支数 g 声学波支数 h q空间代表点密度 i 格波波矢取分立值的个数 布里渊区BrillouinZone 简约布里渊区 第一布里渊区 由原点出发的各倒格子矢量的垂直平分面 由这些平面所围成的最小体积 其体积 倒格子原胞体积环绕原点对称 是单连通区域第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二布里渊区 第一 第二布里渊区与再次远垂直平分面所围成的区域为第三布里渊区 各布里渊区关于原点对称 除第一布里渊区外 其它区并不是但连通区域 任一布里渊区的面积 二维 体积 三维 之和 倒易空间中原胞的体积 布里渊区的形状取决于晶体的布拉伐格子 第一布里渊区实际是倒易点阵的维格纳 赛茨原胞 二维布里渊区 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢 倒格子原胞基矢 维格纳 赛茨原胞Wigner Seitz 简化版作法 为了确定WS原胞 实际上往往只需作出由原点到最近邻及次近邻的连接直线 再检查它们的垂直平分面在原点附近所围成的凸多面体的体积是否与原胞体积相等而决定是否需要作更多的连接直线 最近邻 次近邻是否围成闭合多面体检查围成的多面体体积 原胞体积点阵的格点处于原胞的中心WS原胞只含一个格点 其体积 原胞体积 第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程 第一布里渊区 大小 第二布里渊区 第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域 由4个倒格点 第二布里渊区大小 的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 由4个倒格点 第三布里渊区 第一 第二布里渊区边界与再次远垂直平分面所围成的区域 第三布里渊区大小 的垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成 第一 第二和第三布里渊区 正方格子其它布里渊区的形成 正方格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合 二维六角格子其它布里渊区的形成 二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合 二维斜格子的第一布里渊区 三维简单立方结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为简单立方原点和六个近邻格点连线的垂直平分面 简单立方 三维体心立方结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为面心立方原点和十二个近邻格点连线的垂直平分面 正十二面体 三维面心立方结构晶格点阵的简约布里渊区 倒格子为体心立方截角八面体 例2 金刚石的色散关系 沿 100 与 111 的两支横波发生简并 Si的声子色散关系 圆与三角点为测量值 实线为计算值 人们常用约化波矢 q 2 a 沿 100 及 111 方向 两支横波发生简并 在 点处 纵向光学支与横向光学支发生简并b 两相邻的布里渊区 3 8晶格热容的量子理论 晶格热容 定义 经典理论 实验相关晶格热容的量子理论总能量和总热容能谱分布函数爱因斯坦模型徳拜模型 热容heatcapacity 热容 一个系统在某一过程中温度升高1k所吸收的热量 以 Q表示系统在某一过程中温度升高 T所吸收的热量 则系统在该过程的热容量C为 在等容过程中 系统的体积不变 外界对系统不作功 W 0 晶格振动对热容的贡献 经典理论 玻耳兹曼分布导出能量均分定理 对于处在温度为T的平衡状态的经典系统 粒子能量中的每个平方项的平均值固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动 假设各原子的振动是相互独立的简谐振动 原子在一个自由度上的能量为 有两个平方项 由于每个原子有3个自由度 根据能量均分定理 在温度为T时 一个原子的平均能量为N个原子总的内能为E 3NkBT 热容Cv 3NkB 3R是一个与温度和材料性质无关的常数 杜隆 珀替定律 实验相关 固体的定容热容 固体的平均内能 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果 低温下 金属的热容 温度不是太低的情况 忽略电子对比热的贡献 电子对比热的贡献 晶格振动对比热的贡献 在高温下 这条定律与实验符合的很好 实验表明在低温时 热容量随温度迅速趋于零 实验结论 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 在高温下 热容 3R 与理论结果一致 在低温下 热容量随温度迅速趋于零 为了解决这一矛盾 爱因斯坦发展了普朗克的量子假说 第一次提出了量子的热容量理论 这项成就在量子理论发展中占有重要地位 低温下 绝缘体热容与温度的关系为 CV bT3金属热容与温度的关系为 CV bT3 TbT3是晶格热容 在低温下遵从徳拜T3定律 T是自由电子热容 低温情况下 晶格热容不占绝对优势 因而不能忽略电子对热容的贡献 高温下 金属和绝缘体热容 3R 可用经典热容理论描述 晶格热容的量子理论 根据量子理论 各个简谐振动的能量是量子化的 为 把晶体视作一个热力学系统 在简谐近似下各简正坐标 所代表的振动是相互独立的 因而可以认为这些振子构成近独立的子系 可直接写出它们的统计平均能量 晶格热容的量子理论 一个频率为 j的振动模对热容的贡献 频率为 j的振动模由一系列量子能级为组成 子体系 子体系处于量子态的概率 频率 j格波的平均声子数 一个振动模的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模对热容贡献 振动模的平均能量 1 高温极限 与杜隆 珀替定律相符 一个振动模对热容贡献 忽略不计 Remarks 当振子能量远远大于能量的量子时 量子化的效应可能忽略 2 低温极限 与实验结果相符 一个振动模对热容贡献 Remarks 此时 振动被 冻结 在基态 很难被热激发 因而对热容的贡献趋于零 B 晶体中有3N个振动模 总的能量 晶体总的热容 爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体 假设所有的原子以相同的频率 0振动 一个振动模式的平均能量 晶体热容 总能量 爱因斯坦温度 选取合适的 E值 在较大温度变化的范围内 理论计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体 爱因斯坦热容函数 金刚石 理论计算和实验结果比较 1 温度较高时 与杜隆 珀替定律相符 晶体热容 2 温度非常低时 按温度的指数形式降低 实验测得结果 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别 晶体热容 德拜模型Debyemodel 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布拉伐晶格看作是各向同性的连续介质 有1个纵波和2个独立的横波 不同q的纵波和横波 构成了晶格的全部振动模 不同的振动模 能量不同 色散关系 考虑了频率分布 三维晶格 态密度 V 晶体体积 受边界条件限制波矢q分立取值 允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子 体积元 态的数目 q是近连续变化的 振动数目 频率在之间振动模式的数目 各向同性的介质 频率也近似于连续取值 振动频率分布函数 或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容 晶体总的热容 振动频率分布函数和 m的计算 频率在之间 纵波数目 频率在之间 格波数目 频率在之间 横波数目 波矢的数值在之间的振动方式的数目 频率分布函数 格波总的数目 频率在间 格波数目 晶体总的热容 德拜温度 晶体总的热容 令 德拜热容函数 在高温极限下 晶体总的热容 与杜隆 珀替定律一致 德拜热容函数 低温极限 T3成正比 德拜定律 温度愈低时 德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时 主要的只有长波格波的激发 晶体热容 晶体热容 晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量 给定晶体 总的振动模数目是一定的按振动频率分布g 用晶格振动模式密度来描述 3 振动模式密度函数 从振动模式密度 研究晶格热容 晶体电学 光学性质 晶格振动模式密度 单位频率间隔 振动模式的数目 在q空间 晶格振动模是均匀分布的 状态密度 两个等频率面和 之间的振动模式数目 根据 做出一个等频率面 频率是q的连续函数 振动模式密度函数 简单几种情况下振动模式密度的表示 例1一维单原子链 色散关系 最大频率 振动模式密度 一维情况下 考虑到一个频率可以有两个值 振动模式密度 也可以直接由q空间的状态密度来计算 状态密度 振动模式密度 例2德拜近似下的振动模式密度 振动频率与波矢成正比 例3色散关系 q空间的等频率面是一个球面 球面面积 振动模式密度 1 三维情形 2 二维情况 等频率是一个圆 3 一维情况 振动模式密度 如果色散关系 三维情况振动模式密度二维情况振动模式密度一维情况振动模式密度 在的一些点 奇点 范霍夫奇点 是晶体中一些高对称点 布里渊区边界 这些临界点与晶体的对称性密切相联 习题 3 6 3 7 3 8 3 10在极低温下 不考虑光学波对热容的贡献合理