无限冲激响应数字滤波器的设计.doc

第10章 无限冲激响应数字滤波器的设计10.1 本章要点1、IIR数字滤波器设计的基本概念及方法（1）IIR数字滤波器的性能指标数字滤波器的频率响应可表示为：式中，称为幅频特性，表示信号通过滤波器后各频率成分的衰减情况；称为相频特性，反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。对IIR数字滤波器，通常用幅频响应来描述性能指标。需要注意的是数字滤波器的频率响应是以为周期的，滤波器的低频频带处于的整数倍附近，而高频频带处于的奇数倍附近，这是数字滤波器与模拟滤波器的最大区别。所以，一般只给出区间上的性能指标描述。IIR低通滤波器的幅频特性如图10-1所示。图中，和分别称为通带截止频率和阻带截止频率。通带频率范围为，在通带中要求；阻带频率范围为，在阻带中要求；从到称为过渡带，在过渡带内，幅频响应平滑地从通带下降到阻带。在具体指标中往往用通带内允许的最大衰减表示，用阻带内允许的最小衰减表示，和分别定义为：如果将归一化为1，则和可分别表示为：当时，幅度下降到，此时，所以常称为3dB通带截止频率。是滤波器设计的重要参数之一。图10-1 IIR低通滤波器的幅频特性（2）IIR数字滤波器的设计方法设计一个数字滤波器，可分为以下3步： 根据实际要求确定滤波器的性能指标。 用一个因果稳定的系统函数去逼近这些指标。系统函数分为两类，即IIR系统函数和FIR系统函数。因此，应根据所要求的滤波器性能，先确定采用哪种类型（IIR或FIR）的滤波器，然后按照这类滤波器的设计方法求得系统函数，使其尽可能地逼近滤波器的性能要求。 用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。本章和下一章主要讨论第二步的内容，即如何设计IIR滤波器和FIR滤波器的系统函数使其逼近已给定的滤波器的性能指标。图10-2归纳了IIR数字滤波器的设计方法。图10-2 IIR数字滤波器设计方法一览图 下面将对图10-2中给出的五种设计方法及其学习要点进行简单归纳。2、IIR数字滤波器的基本网络结构一个N阶IIR数字滤波器的有理系统函数可表示为：其对应的差分方程为：注：以下只讨论的情况。（1）直接型结构IIR数字滤波器的差分方程代表了一种最直接的计算公式，用流图表现出来的实现结构称为直接I型结构，如图10-3所示。图10-3 直接I型结构直接I型结构的特点： 两个网络级联，第一个网络实现零点，第二个网络实现极点。 共需个延时单元。 调整零、极点困难。这是因为系统的任何一个零点都与系数有关，而任何一个极点都与系数有关。如果要调整任何一个零点（或极点）位置，就要改变若干个系数的值，这必然又引起其它零点（或极点）的变化。所以这种滤波器不便于调整滤波器的频率响应性能。交换直接I型结构中两个级联网络的次序，再合并中间两条具有相同输入的延时支路，便得到直接II型结构。直接II型结构如图10-4所示。图10-4 直接II型结构直接II型结构的特点： 两个网络级联，第一个网络实现极点，第二个网路实现零点。 对于阶滤波器只需个延时单元，比直接I型结构的延时单元少，这也是实现阶滤波器所需的最少延时单元。 同直接I型结构一样，具有性能调整困难的缺点。（2）级联型结构将系统函数分解成多个二阶子系统函数的乘积形式：式中， （符号表示取整）可见，滤波器可由若干个二阶子系统级联构成。的网络结构如图10-5所示。图10-5 二阶子系统的网络结构当为奇数时，必有一个二阶子系统函数的（即变为一个一阶子系统函数）；当为奇数时，必有一个二阶子系统函数的。级联型结构的特点： 由于级联型结构中每个二阶子系统函数的零、极点一定是整个系统函数的零、极点，所以调整零、极点容易。调整系数、就能单独调整滤波器的第对零点，而不影响其它零、极点；同样，调整系数、就能单独调整滤波器的第对极点，而不影响其它零、极点。这种结构便于调整滤波器的频率响应性能。 极点和零点的配对方式以及二阶子系统的级联顺序有多种排列组合，具有很大的灵活性。（3）并联型结构将系统函数展开成部分分式的形式：当时，上式中不包含第一项；当时，第一项为。且。可见，滤波器可由若干个二阶子系统并联构成。二阶子系统函数的形式为：其网络结构如图10-6所示。图10-6 二阶子系统的网络结构当为奇数时，必有一个二阶子系统函数的、（即变为一个一阶子系统函数），此时系统函数的形式为：其网络结构如图10-7所示。图10-7 一阶子系统的网络结构并联型结构的特点： 并联型结构中每个二阶子系统函数的极点一定是整个系统函数的极点，但每个二阶子系统函数的零点不是整个系统函数的零点，所以调整极点方便，调整零点不方便。 误差较小。因为各个子系统是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型结构和级联型结构那样有误差积累。 运算速度较快。因为各个子系统是并联的，可同时对输入信号进行运算。3、模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计流程图如图10-8所示。图10-8 模拟滤波器设计流程图由于各种典型模拟滤波器的归一化低通原型不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，因此设计起来方便准确。所以，对高通、带通和带阻模拟滤波器的设计，应首先将其指标参数转换成相应的归一化低通指标参数，这样就转化为设计归一化低通滤波器，最后将设计好的归一化低通系统函数转换成实际滤波器的系统函数。（1）几种典型模拟滤波器的类型及其特点（对相同的阶数） 巴特沃斯滤波器：幅频响应单调下降。设计最简单，灵敏度特性最好，但选择性最差。 切比雪夫滤波器：切比雪夫I型的幅频响应在通带内等波纹振动，在阻带内单调下降；切比雪夫II型的幅频响应在通带内单调下降，在阻带内等波纹振动。设计较巴特沃斯复杂，灵敏度特性较巴特沃斯次之，但选择性比巴特沃斯好。 椭圆滤波器：幅频响应在通带和阻带内均为等波纹。设计最复杂，灵敏度特性最差，但选择性最好。 根据以上各种类型模拟滤波器的特点，选择适合设计要求的类型。（2）设计模拟低通滤波器下面仅以巴特沃斯滤波器为例进行说明。设计步骤及有关公式归纳如下： 根据指标参数计算阶数式中，为通带截止频率，为阻带截止频率，为通带最大衰减，为阻带最小衰减。求出的可能有小数部分，应取大于等于的最小整数。 求归一化低通原型的系统函数阶巴特沃斯滤波器的系统函数为：式中，为3dB截止频率，为系统函数的极点， 所谓归一化低通原型，就是对归一化的低通。归一化系统函数为： 式中，为归一化极点， 也可以根据阶数，直接查表10-1得到极点和归一化系统函数。 求实际系统函数将去归一化。即将代入，便得到实际系统函数。关于3dB截止频率，如果技术指标中没有直接给出，可按下式求得： 采用上式确定，阻带指标有富裕量。或按下式求得： 采用上式确定，通带指标有富裕量。表10-1 巴特沃斯归一化低通原型滤波器参数 （3）设计模拟高通、带通和带阻滤波器下面仅给出图10-8中第二步和第四步所涉及的转换公式。先规定一些符号如下：低通滤波器的归一化系统函数用表示，令，称为归一化频率，称为归一化复变量。需要设计的滤波器（高通、带通和带阻）的归一化系统函数用表示，令，称为归一化频率，称为归一化复变量。 低通到高通的频率变换低通和高通滤波器的幅频特性如图10-9所示。图10-9 低通和高通滤波器的幅频特性图中，和分别称为低通滤波器的归一化通带截止频率和归一化阻带截止频率；和分别称为高通滤波器的归一化通带下限频率和归一化阻带上限频率。低通到高通的频率变换公式为：所以，有：，低通滤波器的归一化系统函数到高通滤波器的实际系统函数的转换关系为： 低通到带通的频率变换低通和带通滤波器的幅频特性如图10-10所示。图10-10 低通和带通滤波器的幅频特性图中，和分别称为带通滤波器的通带上限频率和通带下限频率，令，称为通带带宽，一般用作为归一化参考频率，和分别称为下阻带的上限频率和上阻带的下限频率。另外定义，称为通带中心频率。低通到带通的频率变换公式为：所以，有：，与的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的。 低通滤波器的归一化系统函数到带通滤波器的实际系统函数的转换关系为： 低通到带阻的频率变换低通和带阻滤波器的幅频特性如图10-11所示。图10-11 低通和带阻滤波器的幅频特性图中，和分别称为带阻滤波器的上通带截止频率和下通带截止频率，和分别称为阻带的下限频率和上限频率，为阻带中心频率，令，称为阻带带宽，一般用作为归一化参考频率。另外，定义。低通到带阻的频率变换公式为：所以，有：，与的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的。 低通滤波器的归一化系统函数到带阻滤波器的实际系统函数的转换关系为：4、借助模拟滤波器设计IIR数字滤波器由于模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，而且有多种具有优良特性的典型模拟滤波器可供选用，所以常常借助模拟滤波器来设计数字滤波器，其设计流程图如图10-12所示。图10-12 借助模拟滤波器设计数字滤波器的流程图 图10-12中的第三步前面已经介绍过。所以只要掌握了第二步和第四步，就可以完成数字滤波器的设计。下面分别归纳用脉冲响应不变法和双线性变换法将转换成的方法与公式，以及相应的数字频率与模拟频率之间的关系式。（1）冲激响应不变法设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且假定分母的阶次大于分子的阶次。用冲激响应不变法将转换成的方法如下： 将展开成部分分式： 将平面的极点映射成平面的极点，的表达式为：且满足，为采样间隔。数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应之间的关系为： ， 上式表明，是的周期延拓，且模拟频率和数字频率之间呈线性关系。只有当是带限的，且带限于折叠频率以内时，才不会产生频率混叠。因此，模拟滤波器的频率特性应满足条件： 那么 此时数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频率响应，这就是冲激响应不变法的优点。但是，任何一个实际模拟滤波器的频率响应都不是严格带限的，这样就一定会发生程度不同的混叠失真，这是该方法的缺点，使其不能用于设计高通和带阻滤波器。由于数字滤波器的频率响应与采样间隔成反比，当较小时，滤波器增益就会太高。为避免这一现象，可做以下修正，令则有： （2）双线性变换法双线性变换法的设计思想是首先把整个平面压缩变换到某一中介的平面的一条水平带里（宽度为，即从到），用正切变换实现频率压缩：则有：然后通过变换关系将此水平带变换到整个平面上，从而得到平面和平面的映射关系为： 用双线性变换法将转换成的公式为：为采样间隔。模拟频率与数字频率之间的关系为：上式表明双线性变换法存在非线性频率失真，这是该方法的缺点。但正是由于这种非线性失真，将平面的虚轴压缩为平面单位圆一周，才彻底消除了频率混叠失真。而且这种非线性对设计具有片断常数特性的数字滤波器基本无影响。但将数字滤波器的指标转换成相应模拟滤波器的指标时，必须进行频率预畸变校正。为了简化设计，已经将的系数与的系数之间的关系列成表格，供设计时使用。设模拟系统函数的表达式为：若分子多项式的阶次小于分母多项式的阶次，则令分子多项式的最高几个阶次的系数为零即可。又设经双线性变换后得到的表达式为：表10-2给出了一阶到三阶的系数用系数表示的结果：表10-2 系数关系表表中，。对于更高阶次的滤波器，可利用低阶滤波器的级联或并联来实现。5、直接设计IIR数字滤波器所谓直接设计法，就是在数字域直接设计IIR滤波器。相对而言，借助模拟滤波器设计数字滤波器是先设计相应的模拟滤波器，然后通过平面映射，将转换成，所以这属于间接设计法，幅频特性受到所选模拟滤波器特性的限制。而需要设计任意幅频特性的数字滤波器时，只能用直接设计法。（1）零极点累试法系统极点位置主要影响系统幅频特性的峰值位置及其尖锐程度，零点位置主要影响系统幅频特性的谷值位置及其凹下的程度。因此可以根据此特点设置系统函数的零极点，以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于设计幅频特性简单，且对性能要求不高的滤波器。（2）频域逼近法该方法就是一个最优化过程，过程的开始是赋予所设计的参数（系统函数的系数、）一组初值，以后就是不断地改变这组参数，并根据频域最小均方误差准则，计算每组参数下的特性与所要求特性之间的误差，当此误差达到要求的最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程完成。这种方法可用于设计任意幅频特性的滤波器，并且对复杂的滤波器指标能够较精确地进行设计。（3）时域逼近法该方法就是设计一个数字滤波器，使其单位脉冲响应逼近所要求的单位脉冲响应。假设系统函数的未知系数和共有个，取的一段（），使其充分逼近，用此原则求解个系数。这种方法可用于设计任意幅频特性的滤波器，但由于该方法只考虑时域逼近，因而当滤波器频率特性阻带衰减要求过高时，这一方法就难于达到要求。10.2 精选例题例1 已知IIR数字滤波器的系统函数为：试分别画出直接型、级联型和并联型的结构流图。解（1）直接型例1解图(a)（2）级联型将的零、极点进行因式分解，得或例1解图(b)（3）并联型将展开成部分分式，得例1解图(c)例2 设表示一个模拟滤波器的单位冲激响应，（1）用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器，确定系统函数。（2）证明：为任何值时，数字滤波器是稳定的。解（1）模拟滤波器的系统函数为：的极点为，数字滤波器的系统函数为： （2）的极点为：，所以，时，满足稳定条件。例3 设计数字低通滤波器，要求幅频特性单调下降。3dB截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰减，采样频率，分别用冲激响应不变法和双线性变换法设计。解（1）用冲激响应不变换法设计 确定数字低通滤波器的技术指标 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应模拟低通滤波器的技术指标。在冲激响应不变法中，（），所以有： 求模拟低通滤波器的系统函数a. 根据题意，选择巴特沃斯类型，计算阶数取b. 查表得2阶归一化低通滤波器的系统函数c. 将去归一化，得到实际系统函数 用冲激响应不变法将模拟系统函数转换成数字系统函数的结果是调用MATLAB中的函数impinvar求出的，这样就不用将展开成部分分式。（2）用双线性变换法设计 确定数字低通滤波器的技术指标：与（1）的 相同。 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应模拟低通滤波器的技术指标。在双线性变换法中， 。所以，这里要进行频率预畸变校正。 这样才能在双线性变换引起的频率非线性畸变后，保持数字滤波器原来的边界频率不变。 求模拟低通滤波器的系统函数a. 计算阶数 （与（1）的 相同）工程上允许时，为简化，可取b. 查表得1阶归一化低通滤波器的系统函数c. 将去归一化，得到实际系统函数 用双线性变换法将模拟系统函数转换成数字系统函数例4 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率 ，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率 ，阻带衰减不小于18dB，希望采用Butterworth型滤波器。解：1、设计归一化Butterworth低通滤波器（1）确定数字高通滤波器的技术指标。 （2）确定相应模拟高通滤波器的技术指标，由于设计的是数字高通滤波器，所以应选用双线性变换法（取）。 （3）将高通滤波器指标转换成低通滤波器指标，归一化参考频率。 低通指标为： （4）设计归一化Butterworth低通滤波器。 ，取得归一化系统函数：2、频率变换，求模拟高通。 3、用双线性变换法将模拟高通转换成数字高通。 例5 用冲激响应不变法设计的数字滤波器在时域上模仿了模拟滤波器的的特性。实际工作中有时需要数字滤波器模仿模拟滤波器的单位阶跃响应波形。试推导出单位阶跃响应不变法的设计公式。解 阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应模仿模拟滤波器的阶跃响应，即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔采样，使正好等于的采样值，即满足其中，是采样周期。设数字滤波器的系统函数为（），如果其输入端作用一个阶跃函数，则其输出端即为阶跃响应，因而满足 将上式两端取Z变换，可得所以对于模拟滤波器，设其系统函数为，如果其输入端作用一个阶跃函数，则其输出端即为阶跃响应，因而满足 将上式两端取拉普拉斯变换，可得即要满足阶跃响应不变法，应有数字滤波器的系统函数为这就是阶跃响应不变法由模拟系统函数映射成数字系统函数的公式。例6 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述：求系统函数，并判断系统属于FIR和IIR中的哪一类以及它的滤波特性。解对差分方程两边求Z变换，得：系统函数为：因为有非零极点，所以它是IIR。易画出幅频特性，判断为高通滤波器。10.3 习题精解1 设系统用下面的差分方程描述：试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解 对差分方程两边进行变换，得：所以，系统函数为：（1）直接型题1解图(a)（2）级联型将的零、极点进行因式分解，得按照上式可以有两种级联型结构：或题1解图(b)（3）并联型将展开成部分分式，得题1解图(c)2 设系统的系统函数为：试画出各种可能的级联型结构。解 由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。（1），题2解图(a)（2） ， 题2解图(b)3设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率，阻带截止频率，处最大衰减为，阻带最小衰减为。求滤波器的系统函数。解 （1）确定高通滤波器的技术指标易知3dB截止频率为：归一化边界频率为：（2）转换成相应低通滤波器的技术指标（3）设计归一化低通。题目要求采用巴特沃斯类型，故所以，取，查表得3阶巴特沃斯归一化低通为：（4）将转换成高通滤波器的系统函数式中，4设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求滤波器的归一化系统函数和实际系统函数。解 （1）确定滤波器的技术指标（2）求滤波器阶数和参数为了满足指标要求，取（3）求归一化系统函数其中，极点由下式求出：（4）将去归一化，求得实际系统函数其中，。因为，所以，。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形式，其系数为实数。5 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将下列模拟滤波器的系统函数转换为数字系统函数。（1），（2），解（1） 冲激响应不变法代入， 双线性变换法（2） 冲激响应不变法代入， 双线性变换法6 设表示一模拟滤波器的单位冲激响应，用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转换成数字滤波器（表示单位取样响应，即）。确定系统函数，并把作为参数，证明：为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。解 模拟滤波器的系统函数为：的极点，根据冲激响应不变法，数字滤波器的系统函数为： 的极点为：，所以，时，满足稳定条件。定性画出数字滤波器的幅频特性，如题6解图所示：题6解图易知数字滤波器近似为低通滤波器。7 假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又知，数字滤波器的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。（1）（低通）（2）（高通）（3）除和以外的某一频率（带通）解方法1：按题意可写出故 即 原模拟低通滤波器以为通带中心，由上式可知，时，对应于，故答案（2）正确。方法2：