暑期辅导反比例函数(一).doc

反比例函数的意义一、复习提问回顾小学所学的反比例，请举出两个反比例关系的事例。例如：路程一定时，速度与时间成反比；矩形面积一定时，长与宽成反比例等二、引入问题1 ：小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了，假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘做不同交通工具的速度之间的关系。假设：小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时，因为在均匀速度中，时间=路程/速度，所以t=。问题2、学校课外生物小组的同学准备自已动手,用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场,假设它的一边长为x（米），求另一边的长y（米）与x的函数关系式。根据矩形的面积可以知道xy=24，即y=。思考：上面两个问题中的函数具有怎样的共同特征？能否用一个统一的函数关系式把它们表示出来？归纳：上面两个函数中，两个变量的积为一个常数，都可以写成y=（k不等于零）的形式。 一般的，形如y=（k不等于零）的函数叫反比例函数三、典型例题例1、请比较正比例函数和反比例函数，说说它们有哪些不同？从形式上看，正比例函数是关于自变量的整式，反比例函数是关于自变量的分式；从内涵上看，正比例函数的两个变量的商是非零常数，反比例函数的两个变量积是一个非零常数；从自变量和函数值取值范围来看，正比例函数中的自变量和函数值都可以为零，反比例函数中的自变量和函数值都不能为零。例2、下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？例3、 已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6.（1）写出y与x的函数关系式:（2）求当x=4时y的值解：（1）设因为当x=2时y=6，所以有 解得 k=12 所以：（2）把x=4代入,得 y=3例4、 已知函数是正比例函数,则 m = 已知函数是反比例函数,则 m =例5、若y=是反比例函数，则n必须满足条件 反比例函数的图象和性质一、引入我们已知道，一次函数y=kx+b（k0）的图象是一条直线，那么反比例函数y=（k为常数且k0）的图象是什么样呢？ 画出反比例函数y=和y=-的图象 解：列表x-6-5-4-3-2-1123456y=-1-1-1.5-3-6-631.51y=-11.21.5366-3-1.5-1 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来反比例函数y=和y=-的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？反比例函数y=和y=-的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成 （2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）（3）反比例函数的图象属于双曲线此外，y=的图象和y=-的图象关于x轴对称，也关于y轴对称归纳： （1）反比例函数y=（k为常数，k0）的图象是双曲线 （2）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小（3）当k0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=（k0）在同一坐标系中的图象 （ ）分析：对于y=kx来说，当k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象在一、三象限，当k0，所以图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小 （2）把点B、C、D的坐标分别代入y=，知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上 例3、三个反比例函数y= （2）y= （3）y= 在x轴上方的图象如图所示，由此推出k1，k2，k3的大小关系分析：由图象所在的象限可知，k10，k30；在（2）（3）中，为了比较k2与k3的大小，可取x=a0，作直线x=a，与两图象相交，找到y=与y=的对应函数值b和c，由于k2=ab，k3=ac，而cb0，因而k3k2k1例4、如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象交于A（2，1）、B（1，n）两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式yx1，第（2）问根据图象可得x的取值范围x2或0x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。例5、直线y=kx与反比例函数y=-的图象相交于点A、B，过点A作AC垂直于y轴于点C，求SABC 解：反比例函数的图象关系原点对称，又y=kx过原点，故点A、B必关于原点对称，从而有OA=OB，所以SAOC=SBOC 设点A坐标为（x1，y1），则xy=-6，且由题意AC=x1，OC=y1 故SAOC=ACOC=x1y1=6=3， 从而SABC=2SAOC=6小结： 从反比例函数y=的图象上任一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积S=k实际问题与反比例函数（一）一、引入 一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米时的平均速度用6小时到达目的地 （1）当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？分析：（1）原路返回，说明路程不变，则806=480千米，因而速度v和时间t满足：vt=480或v=的反比例函数关系式 （2）若要在4小时内回到甲地（原路），则速度显然不能低于=120（千米/时） 归纳： 常见的与实际相关的反比例 （1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例； （2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例； （3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例； （4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； （5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例； （6）溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例 二、典型例题 例1、近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m （1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式； （2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距 分析： 把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题 解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=， 所以，k=4000.25=100，即所求的函数关系式为y= （2）当y=1 000时，1000=，解得=0.1m 例2、如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象 （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 分析： 当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例 解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 00012=48 000（m3） （2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V=8000（m3）； （4）如果每小时排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t= =8000（m3） 实际问题与反比例函数（二）一、引入 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡也可这样描述：阻力阻力臂动力动力臂 问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m （1）动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？ （2）若想使动力F不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 分析： （1）由杠杆定律有FL=12000.5，即F=，当L=1.5时，F=400 （2）由（1）及题意，当F=400=200时，L=3（m），要加长3-1.5=1.5（m）二、典型例题 例1、在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图所示 （1）写出I与R之间的函数解析式；（2）结合图象回答：当电路中的电流不超过12A时，电路中电阻R的取值范围是什么？ 分析： 由物理学知识我们知道：当电压一定时，电流强度与电阻成反比例关系 解：（1）设，根据题目条件知，当I=6时，R=6，所以， 所以K=36，所以I与R的关系式为：I= （2）电流不超过12A，即I=12，所以R3（） 注意 因为R0，所以由12，可得R例2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压