概率与概率分布-统计学.ppt

第五章概率与概率分布 第五章概率与概率分布 第一节随机事件及其概率第二节概率的性质与运算法则第三节离散型随机变量及其分布第四节连续型随机变量的概率分布 学习目标 1 了解随机事件的概念 事件的关系和运算2 理解概率的定义 掌握概率的性质和运算法则理解随机变量的概念及其常见分布会用Excel计算常见分布的概率 第一节随机事件及其概率 随机事件的几个基本概念 试验 在相同条件下 对事物或现象所进行的观察或实验例如 掷一枚骰子 观察其出现的点数2 概率论里所研究的试验 随机试验 具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个 但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前 不能确定该次试验的确切结果 事件的概念 事件 随机试验的每一个可能结果 任何样本点集合 例如 掷一枚骰子出现的点数为3随机事件 每次试验可能出现也可能不出现的事件例如 掷一枚骰子可能出现的点数必然事件 每次试验一定出现的事件 用 表示例如 掷一枚骰子出现的点数小于7不可能事件 每次试验一定不出现的事件 用 表示例如 掷一枚骰子出现的点数大于6 事件与样本空间 基本事件一个不可能再分的随机事件例如 掷一枚骰子出现的点数样本空间一个试验中所有基本事件的集合 用 表示例如 在掷枚骰子的试验中 1 2 3 4 5 6 事件的关系和运算 事件的包含 若事件A发生必然导致事件B发生 则称事件B包含事件A 或事件A包含于事件B 记作或A B或B A 事件的关系和运算 事件的相等 若事件A发生必然导致事件B发生 事件B发生又必然导致事件A发生 则称事件B与事件A相等 即如果A B B A 则A B 事件的关系和运算 事件的并或和 事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并 它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合 记为A B或A B 事件的关系和运算 事件的差 事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差 它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合 记为A B 事件的关系和运算 事件的交或积 事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交 它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合 记为B A或AB 事件的关系和运算 不相容 互斥 事件 事件A与事件B中 若有一个发生 另一个必定不发生 则称事件A与事件B是互斥的 A B 否则称两个事件是相容的 显然 事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点 事件的关系和运算 互逆 对立 事件 一个事件B与事件A互斥A B 且它与事件A的并是整个样本空间 A B 则称事件B是事件A的逆事件 它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合 记为 A 事件的关系和运算 完备事件组 在随机试验中 事件组Ai i 1 2 必发生其一 且两两互斥 则称事件组Ai为完备事件组 事件的关系和运算 事件的性质 设A B C为三个事件 则有交换律 A B B AA B B A结合律 A B C A B CA BC AB C分配律 A B C A B A C A B C A B A C 事件的概率 事件的概率 概率的定义有 古典定义统计定义主观概率定义 概率的古典定义 如果某一随机试验的结果有限 而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同 则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值 记为 概率的古典定义 实例 例 某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表 从该公司中随机抽取1人 问 1 该职工为男性的概率 2 该职工为炼钢厂职工的概率 概率的古典定义 计算结果 解 1 用A表示 抽中的职工为男性 这一事件 A为全公司男职工的集合 基本空间为全公司职工的集合 则 2 用B表示 抽中的职工为炼钢厂职工 B为炼钢厂全体职工的集合 基本空间为全体职工的集合 则 概率的统计定义 在相同条件下进行n次随机试验 事件A出现m次 则比值m n称为事件A发生的频率 随着n的增大 该频率围绕某一常数P上下摆动 且波动的幅度逐渐减小 取向于稳定 这个频率的稳定值即为事件A的概率 记为 概率的统计定义 实例 例 某工厂为节约用电 规定每天的用电量指标为1000度 按照上个月的用电记录 30天中有12天的用电量超过规定指标 若第二个月仍没有具体的节电措施 试问该厂第一天用电量超过指标的概率 解 上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验 试验A表示用电超过指标出现了12次 根据概率的统计定义有 主观概率定义 对一些无法重复的试验 确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定主观概率是一个决策者对某事件是否发生 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断 概率的性质与运算法则 概率的性质 非负性对任意事件A 有0 P 1规范性必然事件的概率为1 不可能事件的概率为0 即P 1 P 0可加性若A与B互斥 则P A B P A P B 推广到多个两两互斥事件A1 A2 An 有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 概率的加法法则 法则一两个互斥事件之和的概率 等于两个事件概率之和 设A和B为两个互斥事件 则P A B P A P B 事件A1 A2 An两两互斥 则有P A1 A2 An P A1 P A2 P An 概率的加法法则 实例 例 根据钢铁公司职工的例子 随机抽取一名职工 计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解 用A表示 抽中的为炼钢厂职工 这一事件 B表示 抽中的为轧钢厂职工 这一事件 随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B的和 其发生的概率为 概率的加法法则 法则二对任意两个随机事件A和B 它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率 即P A B P A P B P A B 概率的加法法则 实例 例 设某地有甲 乙两种报纸 该地成年人中有20 读甲报纸 16 读乙报纸 8 两种报纸都读 问成年人中有百分之几至少读一种报纸 解 设A 读甲报纸 B 读乙报纸 C 至少读一种报纸 则P C P A B P A P B P A B 0 2 0 16 0 08 0 28 例 50名学生参加课外活动情况 1 事件A表示 某学生参加课外活动至少一次 计算P A P A 28 50 0 56 2 事件B表示 某学生参加课外活动达到三次或三次以上 计算P B P B 10 50 0 2 3 某学生参加课外活动恰好2次的概率为多少 P C 12 50 0 24 例 美国某大城市警察局过去两年中警官升职的情况 在浏览了升职纪录以后 一个由女警官组成的委员会指出在升职过程中存在性别歧视 其依据是男性警官中有288人得到了提升 而女性警官中受到提升的人数仅仅为36人 警察局官员争辩道 女警官受到提升的人数少并非是性别歧视 而是因为在所有警官中女性的数量原本就相对较少 警官升职联合概率 两个事件交的概率 分布表 某警官是男性条件下被提升的概率有多大 P A M 288 960 0 24 0 8 0 30某警官是女性被提升的概率有多大 P A W 36 240 0 03 0 2 0 15你得到了什么结论 条件概率与独立事件 条件概率 在事件B已经发生的条件下 求事件A发生的概率 称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率 记为P A B 由于增加了新的信息 一般而言 P A B 不等于P A 条件概率 实例 100件产品中 有80件正品 20件次品 而80件正品中 又有50件是一等品 30件是二等品 现从这100件中任取一件 用 A 表示 取得一等品 用 B 表示 取得正品 求P A 和P A B 条件概率的图示 概率的乘法公式 设A B为两个事件 若P B 0 则 P AB P B P A B 概率的乘法公式 实例 例 设有1000中产品 其中850件是正品 150件是次品 从中依次抽取2件 两件都是次品的概率是多少 解 设Ai表示 第i次抽到的是次品 i 1 2 所求概率为P A1A2 事件的独立性 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率 则称两个事件独立若事件A与B独立 则P B A P B P A B P A 此时概率的乘法公式可简化为P AB P B P B 推广到n个独立事件 有P A1A2 An P A1 P A2 P An 事件的独立性 实例 例 某工人同时看管三台机床 每单位时间 如30分钟 内机床不需要看管的概率 甲机床为0 9 乙机床为0 8 丙机床为0 85 若机床是自动且独立地工作 求 1 在30分钟内三台机床都不需要看管的概率 2 在30分钟内甲 乙机床不需要看管 且丙机床需要看管的概率解 设A1 A2 A3为甲 乙 丙三台机床不需要看管的事件 A3为丙机床需要看管的事件 依题意有 1 P A1A2A3 P A1 P A2 P A3 0 9 0 8 0 85 0 612 2 P A1A2 A3 P A1 P A2 P A3 0 9 0 8 1 0 85 0 108 互斥与独立 相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件的衡量标准是事件发生是否相互影响 是指两个试验中 两个事件发生的概率互不影响 互斥事件的衡量标准是事件会不会同时发生 是指同一次试验中的两个事件不会同时发生 全概公式 实例 例 某车间用甲 乙三台机床进行生产 各种机床的次品率分别为2 5 它们各自的产品分别占总产量的65 35 将它们的产品组合在一起 求任取一个产品是次品的概率 解 设A1表示 产品来自甲台机床 A2表示 产品来自乙台机床 B表示 取到次品 根据全概公式有 全概公式 设事件A1 A2 An两两互斥 且P Ai 0 i 1 2 n 如果事件B满足B A1 A2 An 则有 我们把事件A1 A2 An看作是引起事件B发生的所有可能原因 事件B能且只能在原有A1 A2 An之一发生的条件下发生 求事件B的概率就是上面的全概公式 贝叶斯公式 逆概公式 与全概公式解决的问题相反 贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因设事件A1 A2 An两两互斥 且P Ai 0 i 1 2 n 如果事件B满足B A1 A2 An 则有 贝叶斯公式 逆概公式 该公式是在观察到事件B已经发生的情况下 寻找导致B发生的每个原因Ai的概率 计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式 公式中 P Ai 称为事件Ai的先验概率 验前概率 P Ai B 称为事件 原因 Ai的后验概率 验后概率 贝叶斯公式 实例 例 某车间用甲 乙两台机床进行生产 各种机床的次品率分别为2 5 它们各自的产品分别占总产量的65 35 将它们的产品组合在一起 如果取到的一件产品是次品 分别求这一产品是甲 乙生产的概率解 设A1表示 产品来自甲台机床 A2表示 产品来自乙台机床 B表示 取到次品 根据贝叶斯公式有 第三 四节随机变量及其分布 一 随机变量的概念离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 随机变量的概念 随机变量的概念 随机变量 表示随机试验结果的变量取值是随机的 事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X Y Z 来表示 具体取值则用相应的小写字母如x y z 来表示根据取值特点的不同 可分为 离散型随机变量 取值可以一一列举连续型随机变量 取值不能一一列举 离散型随机变量 随机变量取有限个值或无穷个诸如0 1 2 2 离散型随机变量的一些例子 连续型随机变量 随机变量X取无限个值所有可能取值无法逐个列举出来 而是取数轴上某一区间或多个区间上的任意点连续型随机变量的一些例子 离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布 列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示 P X xi pi称为离散型随机变量的概率函数 pi 00 离散型随机变量的概率分布 实例 例 如规定打靶中域 得3分 中域 得2分 中域 得1分 中域外得0分 今某射手每100次射击 平均有30次中域 55次中域 10次中 5次中域外 则考察每次射击得分为0 1 2 3这一离散型随机变量 其概率分布为 离散型随机变量的概率分布 0 1分布 1 一个离散型随机变量X只取两个可能的值例如 男性用1表示 女性用0表示 合格品用1表示 不合格品用0表示2 知道每个 结果 取值的概率 离散型随机变量的概率分布 0 1分布实例 例 已知一批产品的次品率为p 0 05 合格率为q 1 p 1 0 5 0 95 并指定废品用1表示 合格品用0表示 则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量 其概率分布为 离散型随机变量的概率分布 均匀分布 一个离散型随机变量取各个值的概率相同例如 投掷一枚骰子 出现的点数及其出现各点的概率 离散型随机变量的概率分布 均匀分布实例 例 投掷一枚骰子 出现的点数是个离散型随机变量 其概率分布为 离散型随机变量的数学期望和方差 离散型随机变量的数学期望 描述离散型随机变量取值的集中程度计算公式为 离散型随机变量的方差 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望 记为D X 描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为 数学期望和方差的性质 离散型随机变量的方差 实例 例 投掷一枚骰子 出现的点数是个离散型随机变量 其概率分布为如下 计算数学期望和方差 解 数学期望为 方差为 离散型随机变量的离散系数 计算公式为 用来比较不同期望值的总体之间的离中趋势 几种常见的离散型概率分布 常见的离散型概率分布 二项试验 贝努里试验 二项分布与贝努里试验有关贝努里试验具有如下属性试验包含了n个相同的试验每次试验只有两个可能的结果 即 成功 和 失败 出现 成功 的概率p对每次试验结果是相同的 失败 的概率q也相同 且p q 1试验是相互独立的试验 成功 或 失败 可以计数 二项分布 进行n次重复试验 出现 成功 的次数的概率分布称为二项分布 记作X B n p 其概率函数为 二项分布 在n重贝努里试验中 成功 的次数X服从参数为n p的二项分布 记为X B n p 二项分布的概率函数 二项分布的数学期望和方差 n 1时 二项分布就成了二点分布 0 1分布 二项分布图形 p 0 5时 二项分布是以均值为中心对称p 0 5时 二项分布总是非对称的p0 5时峰值在中心的右侧随着n无限增大 二项分布趋近于正态分布 p 0 3 p 0 5 p 0 7 二项分布图示 二项分布 实例 例 已知100件产品中有5件次品 现从中任取一件 有放回地抽取3次 求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率解 设X为所抽取的3件产品中的次品数 则X B 3 0 05 根据二项分布公式有 超几何分布 1 上例中 如果是无放回的抽取产品 则恰有两件产品是次品的概率就不能应用两项分布 而是超几何分布2 有N件产品 其中有M件次品 从中任取n件产品 则n件产品所含次品数的概率为 3 可以证明 当N趋于无穷 超几何分布以两项分布为极限 超几何分布 实例 例 已知某厂生产的零件中次品率为1 现生产了100个零件 从中抽取了5件 求在所抽取的5件产品中恰好有1件次品的概率 解 设X为所抽取的5件产品中的次品数 则根据超几何分布公式有 超几何分布 可以证明 当N趋于无穷 超几何分布以两项分布为极限对于抽样问题而言 当总体的数目比较大时 无放回的抽样可以看成是有放回的抽样 泊松分布 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度 面积 体积之内每一事件出现次数的分布 稠密性的问题 如果满足以下两个性质1 任意两个相等长度的区间发生一次的概率相等2 任意区间发生或不发生与其他区间发生与否独立则发生次数服从泊松分布 泊松分布的概率函数 给定的时间间隔 长度 面积 体积内 成功 的平均数e 2 71828x 给定的时间间隔 长度 面积 体积内 成功 的次数 泊松分布的数学期望为E X 方差为D X 泊松分布 例子 我们感兴趣的是周日早上15分钟内到达某一洗车处的汽车数 如果在两个相等长度的时间内汽车到达的概率相等 且任意一段时间内汽车是否到达与其他时间段汽车是否到达相互独立 则在15分钟内到达该洗车处的汽车数服从泊松分布 假定在15分钟内平均到达10辆车 则在15分钟内到达x辆车的概率是 泊松分布 实例 例 假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布 且设周一请事假的平均人数为2 5人 求 1 X的均值及标准差 2 在给定的某周一正好请事假是5人的概率解 1 E X 2 5 X 1 581 2 泊松分布 作为二项分布的近似 当试验的次数n很大 成功的概率p很小时 可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率 即 实际应用中 当P 0 25 n 20 np 5时 近似效果良好 连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量可以取某一区间或多个区间上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用数学函数的形式和分布函数的形式来描述 概率密度函数 设X为一连续型随机变量 x为任意实数 X的概率密度函数记为f x 它满足条件 f x 不是概率 概率密度函数 在平面直角坐标系中画出f x 的图形 则对于任何实数x1 x2 P x1 X x2 是该曲线下从x1到x2的面积 分布函数 连续型随机变量的概率也可以用分布函数F x 来表示分布函数定义为 根据分布函数 P a X b 可以写为 分布函数 适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义 F x P X x 连续型随机变量的分布函数 离散型随机变量的分布函数F x 分布函数与概率密度 分布函数与密度函数的图示 密度函数曲线下的面积等于1分布函数是曲线下小于x0的面积 分布函数与密度函数的图示 概率密度函数和分布函数两个函数 其区别 1 概率密度函数f x 反映的是随机变量x与概率密度f x 的变化对应关系 每一个随机变量x对应了一个概率密度 连续型的 2 而分布函数F x 反映的是随机变量x在 到x分布概率 即F x P X x f x 在 到x的积分 易见F x 最大为1 概率最大没有超过1的 顶多是100 也就是f x 与X轴围成的面积为1 离散分布和连续分布含义基本是一致的 连续型随机变量的期望和方差 连续型随机变量的数学期望为方差为 均匀分布 均匀分布 若随机变量X的概率密度函数为称X在区间 a b 上均匀分布数学期望和方差分别为 均匀分布 实例 某航空公司对其从广州到北京的航班宣称其飞行时间是2小时零5分钟 如果实际飞行时间服从2小时到2小时20分钟间的均匀分布 1 飞行晚点时间不超过5分钟的概率是多少 2 期望的飞行时间是多少 均匀分布 实例 解 1 飞行晚点时间不超过5分钟的概率是5 20 0 25 2 期望的飞行时间是 120 140 2 130分钟 即2小时10分钟 指数分布 若随机变量X的概率密度函数为称X服从指数分布指数分布通常描述一项任务所花费的时间 可用于描述诸如到达一个洗车处的两辆车间隔的时间 装载一辆卡车的时间 高速公路上两个主要出口的距离 3 数学期望和方差分别为 指数分布 实例 例 若某码头装载一辆卡车所花的时间服从指数分布 如果装载一辆卡车所花费的平均时间为15分钟 则装载一辆卡车花费的时间在6分钟到18分钟内的概率是多少 指数分布 实例 解 根据题意 可知装载一辆卡车所花费的时间X服从指数分布 且概率密度函数是 可知 装载一辆卡车所花费的时间小于x的概率为 所以花费的时间在6分钟和18分钟内的概率为 指数分布 和泊松分布的关系 若在一定的时间内到发生次数服从泊松分布 则两次发生之间的间隔长度一定服从指数分布 假设在一个小时内达到洗车处的汽车数服从一泊松分布 均值为每小时10辆 则每小时有x辆车到达的概率是 每两次到达的平均间隔为1 10 0 1小时 则两次达到时间间隔服从指数分数 正态分布 正态分布的重要性 1 描述连续型随机变量的最重要的分布2 可用于近似离散型随机变量的分布例如 二项分布3 经典统计推断的基础 概率密度函数 总体方差 3 14159 e 2 71828x 随机变量的取值 x 总体均值 正态分布函数的性质 1 正态曲线的最高点在均值 它也是分布的中位数和众数2 正态分布是一个分布族 每一特定正态分布通过均值 的标准差 来区分 决定曲线的高度 决定曲线的平缓程度 即宽度3 曲线f x 相对于均值 对称 尾端向两个方向无限延伸 且理论上永远不会与横轴相交 能不能根据密度函数的表达式 得出正态分布的图形特点呢 容易看到 f x 0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方 故f x 以 为对称轴 并在x 处达到最大值 令x c x c c 0 分别代入f x 可得 f c f c 且f c f f c f 这说明曲线f x 向左右伸展时 越来越贴近x轴 即f x 以x轴为渐近线 当x 时 f x 0 和 对正态曲线的影响 正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线 特点是 两头小 中间大 左右对称 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 正态分布的概率 概率是曲线下的面积 服从正态分布的随机变量X的概率密度是 X的分布函数P X x 是怎样的呢 标准正态分布函数 标准正态分布的概率密度函数 任何一个一般的正态分布 可通过下面的线性变换转化为标准正态分布 标准正态分布的分布函数 标准正态分布 标准正态分布表的使用 将一个一般的转换为标准正态分布计算概率时 查标准正态概率分布表对于负的x 可由 x x 得到对于标准正态分布 即X N 0 1 有P a X b b a P X a 2 a 1对于一般正态分布 即X N 有 正态分布 实例 例 设X N 0 1 求以下概率 1 P X2 3 P 1 X 3 4 P X 2 正态分布 实例 解 1 P X2 1 P 2 X 1 0 9973 0 0227 3 P 1 X 3 P X 3 P X 1 3 1 3 1 1 0 9987 1 0 8413 0 8354 4 P X 2 P 2 X 2 2 2 2 1 2 2 2 1 0 9545 正态分布 实例 例 设X N 5 32 求以下概率 1 P X 10 2 P 2 X 10 正态分布 实例 解 1 2 例 用于饮酒过度人员的恢复性治疗的平均成本为10000美元 假定成本服从标准差为2200美元的正态分布 那么 a 成本至少为12000美元