(最新)根与系数关系

一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 复习提问 1 一元二次方程的一般形式和求根公式 ax2 bx c 0 a 0 X a 0 b2 4ac 0 根的判别式 方程有2个不相等的实数根 方程有2个相等的实数根 方程没有实数根 2 判别式的应用 1 直接判断一元二次方程根的情况 2 由题目给出的一元二次方程根的情况 求出a b c中待定系数的值或取值范围 例1不解方程 判断下列方程根的情况 1 2x2 3x 1 0 2 5x2 7x 5 0 今后遇到二次方程马上先由 判断一下根的情况这是解题的良好习惯 1 2x2 3x 1 0 2 3 5x2 7x 5 0 4 kx2 2k 1 x k 1 0 k 0 3 用公式法解一元二次方程 1 关于x的方程 m 1 x2 2x 1 0有两个不相等的实数根 求m的范围 4由根的情况 求出a b c中待定系数的值或取值范围 2 已知方程 2a 1 x2 8x 6 0没有实数根 则a的最小整数值是多少 若x1 x2是ax2 bx c 0 a 0 的两个根 观察 思考两根和 两根积与系数的关系 X2 x1 韦达定理的证明 X1 x2 X1x2 如果方程ax2 bx c 0 a 0 的两个根是X1 X2 注 能用韦达定理的前提条件为 0 则x1 x2 x1 x2 韦达 1540 1603 韦达定理的作用 作用1 验根 判定两个数是不是方程的两个根 1 2 3 作用2 求两根之和与两根之积 1 x2 2x 1 0 2 2x2 3x 0 3 2x2 6x 0 4 3x2 4 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 3 x1 x2 0 x1x2 0 x1 x2 x1x2 x1x2 如果方程x2 px q 0有两个根分别是3和1 P q 则这个方程为 作用3 已知两根求待定系数 已知方程5x kx 6 0的一根是2 求它的另一根及k的值 作用4 已知方程一根 求另一根 设方程的另一个根为x1 由韦达定理 得 x1 2 解这方程组 得 x1 k 法2 已知方程5x kx 6 0的一根是2 求它的另一根及k的值 x1 2 练习 已知方程x2 k 1 x 3k 0的一个根是2 求它的另一个根及k的值 解二 设方程的另一个根为x1 由韦达定理 得 x1 2 k 1 x1 2 3k 解这方程组 得 x1 3 k 2 答 方程的另一个根是 3 k的值是 2 X1 x2是方程2x 4x 5 0的两根则X1 x2 X1 1 x2 1 作用5 可以求其它有关式子的值 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 2 2 2 2 5 4 5 9 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 2 5 2 1 3 5 解 由题意可知x1 x2 x1 x2 3 1 x1 x2 2 x12 x22 2x1x2 2 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 2 2 3 6 小结 用公式法解一元二次方程的解的情况 1 当 b 4ac 0时 能求出方程的两个不相等的实数根 当 b 4ac 0时 能求出方程的两个相等的实数根 当 b 4ac 0时 该方程没有实数根 2根与系数的关系 ax bx c 0有根的前提 a 0 0 两根为x1 x2 那么 作用C 由已知一元二次方程的一个根求出另一个根或未知系数 2作用A 判定解方程的结果是不是它的两个根 利用B 求两根的和 两根的积 作用D 求出其它有关式子的值 自主练习灵活运用 1 已知方程3x2 19x m 0的一个根是1 它的另一个根是 m的值是 2 设x1 x2是方程2x2 4x 3 0的两个根 利用根与系数的关系 求下列各式的值 1 x1 1 x2 1 2 x1 x2 x1 x2 16 3 16 甲乙两生解方程X2 pX q 0 甲看错了一次项系数 得根为2和7 乙看错了常数项 得根为1和 10 则p q的值为 2 已知方程4x 3x 2 0的两根是x1 x2 则x1 x2 x1x2 3 一元二次方程5x kx 6 0的一个根是非负数 则它的另一根是 k是 4 已知方程3x2 19x m 0的一个根是1 求它的另一个根及m的值 5 设x1 x2是方程2x2 4x 3 0的两个根 求 x1 1 x2 1 的值 解 设方程的另一个根为x1 则x1 1 x1 又x1 1 m 3x1 16 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 2 1 6关于x的方程X 2m 1 x m 0的两根之和与两根之积相等 则m 7 一元二次方程x 5x k 0的两实根之差是3 则k 拓广探索 1 当k为何值时 方程2x2 k 1 x k 3 0的两根差为1 解 设方程两根分别为x1 x2 x1 x2 则x1 x2 1 x2 x1 2 x1 x2 2 4x1x2 由韦达定理得x1 x2 x1x2 解得k1 9 k2 3 当k 9或 3时 由于 0 k的值为9或 3 你会做吗 你会做吗 已知x1 x2是方程3x2 px q 0的两个根 分别根据下列条件求出p和q的值 1 x1 1 x2 2 2 x1 3 x2 6 3 x1 x2 4 x1 2 x2 2 由韦达定理 得 解 x1 x2 x1 x2 p 3 x1 x2 q 3x1 x2 1 p 9q 6 2 p 9q 54 3 p 0q 21 4 p 12q 3 例1已知m为实数 试判断关于x2 2m 3 x m 1 0的根的情况 例2m取什么值时 关于x的方程2x2 m 2 2m 2 0有两个相等的实数根 求出这时方程的根 说明不论m取何值 关于x的方程 x 1 x 2 m2总有两个不相等的实数根 例3设x1 x2是方程3x2 4x 1的两根 不解方程求下列各式的值 1 x1 x2 2 9x13 13x2 例4已知方程 x2 x 4 0的一个根为 1 设另一个根为a 求a3 2a2 4a的值 已知关于x的方程x2