与圆的切线有关的计算与证明

,.与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图 z121， o 的切线 pc 交直径 ab 的延长线于点p， c 为切点，若 p30， o 的半径为 1，则 pb 的长为 1 图 z121经典母题答图【解析】如答图，连结 oc.pc 为o 的切线，pco90，在 rtocp 中，oc1，p30，op 2oc 2，pb op ob 2 1 1.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017 天津 已知 ab 是o 的直径， at 是 o 的切线， abt 50， bt 交o 于点 c， e 是 ab 上一点，延长 ce 交o 于点 d. (1)如图 z122，求 t 和 cdb 的大小；(2)如图，当 bebc 时，求 cdo 的大小;.图 z122解： (1)如答图 ，连结 ac，at 是o 的切线， ab 是o 的直径，at ab，即tab 90，abt50，t90abt40，由 ab 是o 的直径，得 acb90，cab90 abc 40，cdbcab40；中考变形答图中考变形答图(2)如答图 ，连结 ad，在 bce 中， bebc，ebc50， bce bec 65， badbcd65，oaod， oda oad 65， adc abc 50， cdo odaadc65 50 15 .【中考预测】2017 宿迁 如图 z123，ab 与o 相切于点 b，bc 为 o 的弦， ocoa， oa 与 bc 相交于点 p.(1) 求证： apab；(2) 若 ob4，ab3，求线段 bp 的长图 z12 3中考预测答图解： (1)证明： ocob，ocbobc，ab 是o 的切线，obab，oba90，abp obc90，ocao，aoc 90，ocb cpo 90，apbcpo，apb abp，apab；(2)如答图，作 ohbc 于 h.在 rtoab 中，ob4，ab3，oa32 425，ap ab3，po 2.22在 rtpoc 中， pcoc op 25，112pcoh 2ocop，ohopoc45pc 5，2285chocoh 5，165ohbc，chbh，bc2ch5，bp bc pc16565525 5.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图 z124，a 是 o 外一点， ao 的延长线交 o 于点 c，点 b 在圆上，且 abbc， a 30，求证：直线 ab 是 o 的切线图 z124经典母题答图证明： 如答图，连结 ob，ob oc，abbc，a 30，obc ca30，aob cobc60.abo180(aoba)180(6030)90，abob，又 ob 为o 半径，ab 是o 的切线【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直 ”或者“作垂直，证半径 ”【中考变形】12016 黄石 如图 z125，o 的直径为 ab，点 c 在圆周上 (异于 a，b)，ad cd.(1) 若 bc3，ab5，求 ac 的值；(2) 若 ac 是 dab 的平分线，求证：直线cd 是 o 的切线图 z125中考变形 1 答图解： (1)ab 是o 直径， c 在o 上，acb90，又bc3，ab5，由勾股定理，得 ac4；(2)证明：如答图，连结oc，ac 是dab 的平分线，dac bac，又ad dc，adc acb90，adcacb，dcacba，又oa oc，oac oca，oac obc 90，oca acdocd90，直线cd 是o 的切线22017 南充如图 z126，在 rt acb 中，acb90，以 ac 为直径作 o交 ab 于点 d，e 为 bc 的中点，连结 de 并延长交 ac 的延长线点 f.(1) 求证： de 是o 的切线；(2) 若 cf 2，df 4，求 o 直径的长图 z126中考变形 2 答图【解析】 (1)连结 od，欲证 de 是o 的切线，需证 odde，即需证 ode90，而acb90，连结cd，根据“ 等边对等角 ”可知odeoce90，从而得证；(2)在 rtodf 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解： (1)证明：如答图，连结od， cd.ac 是o 的直径，adc90.bdc90.又e 为 bc 的中点，de 2bcce，edcecd.odoc，odc ocd.1edc odcecdocdacb 90.ode 90，de 是o 的切线；(2)设o 的半径为 x.在 rtodf 中， od2df 2of2，即 x 4 (x 2) ，解得 x3. o 的直径为 6.222【中考预测】如图 z127，ab 是 o 的直径，点 c， d 在 o 上， a2bcd，点 e在 ab 的延长线上， aed abc. (1)求证： de 与o 相切；(2)若 bf2，df 10，求 o 的半径图 z127中考预测答图解： (1)证明：如答图，连结od.ab 是o 的直径，acb90，a abc 90，bod 2 bcd，a2bcd，bod a，aed abc，bodaed90，ode 90，即od de，de 与o 相切；(2)如答图，连结 bd，过点 d 作 dh bf 于点 h.de 与o 相切，acdbcd odbbde90，acd obd，obd odb，bde bcd，aed abc，afc dbf ，afc dfb，acf 与fdb 都是等腰三角形，fh bh bf1，hd 12df2fh 2 3，222222在 rtodh 中， ohdh od ，即(od1) 3 od ，od5.即 o 的半径是 5.与圆的切线有关的计算与证明（2）1. 如图8，cd是 0的切线，切点为 a,ab 是 0的直径.e,f0上的点, (1)求证： dae= fde/a b.c(2) 若ef/cd, 求证:aef是等腰三角形foabde2. 如图 7 0 的半径为 1，过点 a(2， 0) 的直线切0 于点 b，交 y 轴于点 c.(1) 求线段 ab 的长；(2) 求以直线ac为图象的一次函数的解析式3、在 abc 中， ab=ac ，内切圆o 与边 bc、ac 、ab 分别切于d 、e、f.（1）求证： bf=ce ；（2）若 c=30 ， ce23 ，求 ac.4.如图 10，在 o 中， acb= bdc=60，ac=23cm ，（ 1）求 bac 的度数；（ 2）求 o 的周长5 已知：如图， ab 是 o 的直径， ad 是弦， oc 垂直 ad 于 f 交 o 于 e，连结 de 、be，且 c= bed （ 1）求证： ac 是 o 的切线；（ 2）若 oa=10 ， ad =16，求 ac 的长cdebfoa6. 如图， mp 切o于点 m，直线 po 交 o 于点 a、 b ，弦 ac mp，(1) 求证： mo bc(2 补充)连结 cm, 当四边形bcmo 为菱形时 ,求 p 的度数或反过来问 : 当p30时, 判断四边形bcmo的形状 , 并说明理由 .mcaob7. 如图，在 abc 中， abac ，以 ab 为直径的 o 交 bc 于点 m ， mn ac 于点 n （1）求证 mn 是 o 的切线；a（2）若bac120，ab2 ，求图中阴影部分的面积onbmcp8 如图， abc 内接于半圆，ab 是直径，过a 作直线 mn ，若 mac= abc（ 1）求证： mn 是半圆的切线；（ 2）设 d 是弧 ac 的中点，连结bd 交 ac 于 g，m过 d 作 de ab 于 e，交 ac 于 fdc求证： fd fg gfaebn9. 如图，半圆的直径ab（1） 求弦 ac 的长；10，点 c 在半圆上，bc6 （2） 若 p 为 ab 的中点， pe ab 交 ac 于点 e，求 pe 的长ceapb10. 已知：如图，ab 为o 的直径，abac， bc交 o 于点 d ， ac 交o 于点e，bac45a（1） 求ebc 的度数；（2） 求证： bdcd oedcb11. 如图，在 abc 中， abac ， ae 是角平分线，bm 平分abc 交