2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程练习（含解析）新人教A版选修2_1.docx

2.2.1椭圆及其标准方程1.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是(D)(A)+=1(B)+=1(C)x2+=1(D)+=1解析:由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.2.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点,则PF1F2的周长是(B)(A)16(B)18(C)20(D)不确定解析:由方程+=1知a=5,b=3,所以c=4,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8,所以PF1F2的周长为18.故选B.3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a0,常数),所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为:仅当2a|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a0,n0,mn),则解得所以椭圆方程为x2+=1.故选A.5.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=30,则|AB|等于(C)(A)16(B)18(C)22(D)20解析:由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52,又|F2A|+|F2B|=30,所以|AB|+30=52,所以|AB|=22.故选C.6.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是(A)(A)圆 (B)椭圆(C)抛物线(D)无法确定解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a|F1F2|),|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故 选A.7.已知椭圆x2sin -y2cos =1(02)的焦点在y轴上,则的取值范围是(D)(A)(,)(B)(,)(C)(,) (D)(,)解析:椭圆x2sin -y2cos =1(02)化为标准方程,得+=1,因为它的焦点在y轴上,所以所以0-cos sin ,因为02,所以.故选D.8.已知P是椭圆+=1(0nb0).将点(5,0)代入上式解得a=5,又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(ab0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以故椭圆的标准方程为+x2=1.14.如图,已知点P(3,4)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若=0.(1)求椭圆的方程;(2)求PF1F2的面积.解:(1)因为=0,所以PF1PF2,所以PF1F2是直角三角形,所以|OP|=|F1F2|=c.又|OP|=5,所以c=5.所以椭圆方程为+=1.又P(3,4)在椭圆上,所以+=1,所以a2=45或a2=5.又ac,所以a2=5舍去.故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由2-得2|PF1|PF2|=80,所以=|PF1|PF2|=40=20.15.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当F1PF2=60时,求F1PF2的面积;(2)当F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,且F1(-,0),F2(,0).在F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60.由得|PF1|PF2|=.所以=|PF1|PF2|sinF1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知F1PF2为钝角,得0,所以(x+,y)(x-,y)0,又y2=1-,所以x22,解得-x|AC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,所以b=,故椭圆方程为+=1,即+=1.故选D.17.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|等于(B)(A)4(B)8(C)12(D)16解析:设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.18.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:719.若椭圆C1:+=1(a1b10)和椭圆C2:+=1(a2b20)的焦点相同且a1a2,给出如下五个结论:椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点;-=-;a1-a2a2,所以b