常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：精品资料2添加或舍去一些项，如：a1将分子或分母放大（或缩小）a ；n( n1)nn(n1)n(n1)利用基本不等式，如：lg 3lg 5( lg 3lg 5) 22lg15lg16lg 4 ；2二项式放缩:2 n(1n01) n01ccn2n12nn2c n , 2nn2 n0cnn(n1cn1)( nn1,2)2c n(5) 利用常用结论：cncn2.1的放缩：22 2kkk12 kkk1.1的放缩 (1)：111（程度大）(k2k( k1)k 2k( k1).12的放缩 (2) ：11112211) （程度小）kkk1( k1)(k1)2k1k1.1的放缩 (3) ： 142(11) （程度更小）k2k 24k 212k12k1. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质: babm (bama 0, m0) 和 bab m (aamb0, m0)记忆口诀“小者小 ,大者大 ”。 解释 :看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之亦然 .构造函数法构造单调函数实现放缩。例：f ( x)x(x0) ，从而实现利用函数单调性质的放缩：1xf ( ab )f ( ab ) 。一先求和再放缩1例 1. an, 前 n 项和为 sn ，求证： sn1n ( n1)例 2. an(1) n31, 前 n 项和为 s n ，求证： sn2二先放缩再求和（一）放缩后裂项相消a(1)n 1 1s2例 3 数列 an ，nn ，其前 n 项和为 sn，求证：2n2（二）放缩后转化为等比数列。 b b1,bb 2(n2)b3例 4.n满足：1n 1nn（ 1）用数学归纳法证明：bnnt111.11nt3b3b3b3bn（ 2）123n ，求证：2三、裂项放缩n例 5.(1) 求2的值 ;(2) 求证 : n15 .k 14k 212k 1 k31例 6.(1) 求证:112235(2) 求证: 111172(2n1)6111(n2)2(2 n1)1416(3) 求证： 2(n3611)14n 224n1112 ( 2n11)23n例 7. 求证 :(n6n1111)(2n1)4915n23例 8. 已知 ant4n2 n ,n2na1a2, 求证: t1t2t3ant3 .n2四、分式放缩姐妹不等式 : babm (bama 0, m0) 和 bab m ( ab am0, m0)记忆口诀 ” 小者小 ,大者大 ”解释 :看 b,若 b 小,则不等号是小于号, 反之亦然 .例 9. 姐妹不等式 : (11)(11)(11 )35(11)2 n12 n1 和(11 )(121 )(11)46(11 )2n12n1也可以表示成为2 4 61 3 52n( 2n1)2n1 和 1 3 52 4 6( 2n1)2n12n1例 10. 证明: (11)(11 )(11)47(11)3n23 3n1.五、均值不等式放缩例 11. 设s1 22 3n(n1) . 求证n( n1)s(n 1) 22n2n.例 12. 已知函数f ( x)11a 2bx， a0,b0, 若f (1)4 ，且5f (x) 在0 ，1 上的最大值为1 ，2求证：f (1)f (2 )f (n)n11 .2 n 12六、二项式放缩2n(1c2n0n1) nc1n01c n , 2 nccnnn2nn2ncn222cn0n( ncnn1 ,11)( n2)例 13. 设 n1, nn ，求证( 2 )n38.(n1)( n2)例 14.nan2 3,试证明： .n 11114 n2a1a2an4七、部分放缩(尾式放缩 )例 15. 求证:1311321143 2n 117a1a例 16.设1123naa1 , a n2.求证： an2.八、函数放缩例 17. 求证：ln 22ln 33ln 44ln 3n 3nn5n63(n6n * ) .例 18. 求证 :ln 22,2ln 33ln n n2n 2n1( n2)2(n1)例 19.求证 : 11231ln( n1)111n12n九、借助数列递推关系1, a n1ann1, 求证: 111a 1a2an例 20.若 a12 ( n 1 1)例 21.求证 : 1