培优训练题3.docx

1设正项数列an（n5）对任意正整数k（k3）恒满足：，且（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在整数，使得对于任意正整数n恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。（注：）2已知数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；（3）设,是数列的前项和，证明3已知数列满足：，（）求的值；（）（）证明：当时，；（）若正整数满足，求的值4已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.5 已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.6已知数列的前项和为，首项，且对于任意都有（）求的通项公式；（）设，且数列的前项之和为，求证：7数列的通项是关于的不等式的解集中正整数的个数，（1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和；（3）求证：对且恒有8设数列满足：； 所有项； 设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数的伴随数列例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（）若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（）设，求数列的伴随数列的前30项之和；（）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列的前项和 试卷第5页，总6页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1（1）an=n （2）【解析】试题分析：（1）本题中求通项公式时首先由数列前几项猜测数列的通项公式，然后用数学归纳法证明对于任意正整数都成立（2）中首先由求得的值，再由数学归纳法证明恒成立试题解析：（1）当k=3时，a1=1；当k=4时，a2=2；当k=5时，a3=3； 猜想：an=n 2分当n=1时，a1=1，成立；假设当n=k时结论成立，即有ak=k， 则当n=k+1时，由于 所以而，ak=k，得ak+1=k+1，所以当n=k+1时，结论成立；由可知： an=n 8分（2）若存在整数，使得对于任意正整数n恒成立，则当n=1，n=2时有13=1，得。猜想， 10分当n=1时，成立；假设当n=k时，结论成立，则当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论成立；由可知：，使得命题成立。 16分考点：1数学归纳法；2归纳推理2（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）根据题意，构造数列为等比数列，求其通项，进而求出；（2）利用错位相减法求，进而求出，作差证明数列为递减数列，可求得最值，即得的范围；（3）求出，利用裂项抵消法求和，进而证明不等式成立试题解析：（1）由已知得，其中所以数列是公比为的等比数列，首项，所以 4分由（1）知所以所以 7分因此，所以，当即，即所以是最大项所以 9分（3） 12分又令，显然在时单调递减，所以故而 13分考点：1数列的递推公式；2错位相减法；3裂项抵消法3（）1；（）2014【解析】试题分析：（） ， （）（）， ， 由得 ，即当时 （）由，,，则， 考点：1数列的递推公式，2累加法求数列的前项和4（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而可得，即可得证.试题解析：（1）由题意得，即，由得，由得，即；（2）由题意得，由和得，因此，由得.考点：数列与不等式结合综合题.5（1）（2）详见解析（3）【解析】解：（1）由，得，所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为，.证明：（2）由，得.所以为常数列，即.因为，所以，即.故的第项是最大项.解：（3）因为，所以，当时，.当时，符合上式.所以.因为，所以，.当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；当时，的最大值为，最小值为，而；当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.考点：等差数列，数列单调性6（）；（）见解析【解析】试题分析：（）由，可得当时，两式相减可得，所以，即，然后用累乘方法可得，然后得到；（）结合（）然后运用隔项相消方法求得试题解析：（）解法一：由可得当时，由-可得，所以，即当时，所以，将上面各式两边分别相乘得，即（），又，所以（），此结果也满足，故对任意都成立。 7分解法二：由及可得，即，当时，（此式也适合），对任意正整数均有，当时，（此式也适合），故。 7分（）依题意可得 12分考点：递推数列、数列与不等式7（1）；（2）；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）用分解因式法求解一元二次不等式，注意分清两根的大小关系；（2）对应一些特殊数列求和，掌握住方法，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）比较大小时，首项考虑作差法，作差、变形，由的符号，在确定符号是变形是关键，掌握配方，提公因式的方法，确定结论试题解析：（1）等价于，解得其中有正整数个，于是 3分（2） 5分两式相减得故 7分（3） 9分由知于是故当且时为增函数 11分综上可知 12分考点：1、求数列的通项公式；2、错位相减求和；3、证明不等式8（）；（）；（）,.【解析】试题分析：（）; （）由，得当时， 当时，当时， 当时，进一步计算即得.（III）首先由得 当时，可得 由得：由使得成立的的最大值为，得到.当时，当时分别求和即得.试题解析：（）； 3分（）由，得当时，