中值定理证明

,.;.首先我们来看看几大定理：中值定理1、 介值定理： 设函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=a 及 f(b)=b，那么对于 a 与 b 之间的任意一个数 c，在开区间 (a,b)内至少有一点 使得f( )=c(a b).ps:c是介于 a、b 之间的，结论中的 取开区间。介值定理的推论：设函数f(x) 在闭区间 a,b 上连续 ,则 f(x)在a,b 上有最大值m ，最小值m, 若 mc m,则必存在 a,b,使得 f( )=c。（闭区间上的连续函数必取得介于最大值 m 与最小值 m 之间的任何值。此条推论运用较多）ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或 者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、 零点定理：设函数f(x) 在闭区间 a,b 上连续 ,且 f(a) 与 f(b)异号，即f(a).f(b)0, 那么在开区间内至少存在一点 使得 f( )=0.ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x) 满足：（1） 、在闭区间 a,b 上连续；（2） 、在开区间 (a,b)内可导 ;（3） 、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在 (a,b)内至少有一点(a b), 使得 f(x)=0; 4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1） 、在闭区间 a,b 上连续；（2） 、在开区间 (a,b)内可导 ;那么在 (a,b)内至少有一点(a b), 使得f(b)-f(a)=f( ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x) 及 g(x)满足（1） 、在闭区间 a,b 上连续；（2） 、在开区间 (a,b)内可导 ;（3）、对任一 x(ax0)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1) 、写出 f(x) 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2) 、证明在 -a,a 上至少存在一点使得第一问课本上记住了写出来就行，考的很基础a3 f ()a3f ( x)dxa（1）、f ( x)f (0)f ( 0) x 1!f (2!) x2f ( 0)xf(2!) x2(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来af ( x)dxaaf ()a2x 2dx ，f () 此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x 无关的数。 做到这儿， 我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道f(x) 有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有：因为f(x) 有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为m,m则对于区间-a,a ，mf ( x)m , mx 2f ()x 2mx 22 ma3m a x2 dxaa2f ()x 2 dxmx 2 dxma 33 a3amfa 3aaa3( x)dxm所以由介值定理有结论成立。ps：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目中说的很明白的， 有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。5、设 f(x) 在 0, 上连续，且f ( x) dx00,f (x)0cosxdx0 .证明：在(0,) 内至少存在两个不同点1、 2使得f (1 )f (2 )0本题看似很简洁，但做起来去不容易。结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。x令： f ( x)f (t )dt, x00, ， f (0)f ()0似 乎 只 需 在 找 出 一 点f(c)=0即 可 。， 如 果 一 切 如 我 们 所 想 ， 证 明 也 就 完 成 了 。f (x)0sin x0cosxdxf ( x)dxcosxdf( x)00cosxf (x) 0sin x0f ( x) dx0似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间， 如果要用的话得先构造函数用x拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。构造函数g( x)sint0f (t )dt, x0,具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到c( 0,),使得g(c)0,即sin cf (c)0, 所以f (c)0所以有：f (0)f (c)f ()0,c(0,)接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法， 思路。ps：本题是02 年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运用不熟练，还是不好弄出来。本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到积分中值定理， 以及罗尔定理。 但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间， 只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计一半的分都没了。本题关键的就是寻找这个点c，找出来了其他的都不是问题，既然是关键 点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套用课本中定理（如果用的话，得分类讨论了），硬是说c 点就成立，那估计一半的分都没了。对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造： 基本上都是从结论出发，运用求导或是积分， 或是求微分方程，解出来也可。本人自己总结了一些东西，与大家交流下：首先我们来看看一些构造函数基本方法：一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：一般都会构造出g( x)xxxex 或者 ex或者 xn , n为任意常数1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有ex 或者e xf ( x)f (x)可以构造g (x)xf (x)ef ( x)f (x)0 可构造g( x)f ( x)exf ( x)f (x)可构造g( x)f ( x)exexxf (t )dtaf (x) 这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g( x)e xfxa(t )dtf ( x)( f ( x)x)1先将其变形下：f ( x)f ( x)1x 左边是导函数与原函数关系可构造：f ( x)ex右边可以看成是xx 也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：x从而ex要构造的函数就是：g( x)( f ( x)x)ex2、如果还涉及到变量x，想想构造x nxf ( x)f ( x)0 可构造g( x)f ( x)xf ( x)2 f ( x) x可构造g( x)f ( x)x2xf ( x)nf ( x)0 可构造g(x)f ( x)xn3、另外还可以解微分方程来构造函数：如 xf (x)f ( x)0f ( x)x, f ( x)ln f ( x)1 x 2c2ln f2 ( x)ex 2cf 2 ( x)ex 2c所以构造函数g( x)f 2 ( x)ex2二、二阶导数与原函数之间关系构造带有ex或者e xf ( x)f ( x)如何构造如下：f ( x)f ( x)f ( x)f (x) 对于此式子， 你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是f ( x)）之间关系，从而等式左边可以构造f ( x)xe 等式右边可以构造f (x)xe 总的构造出来函数为：g( x)( f ( x)f (x)ex另：如果这样变形：( f ( x)f ( x)( f ( x)f ( x)0构造函数如下：g( x)( f ( x)f ( x)e，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构x造的。从而对于此函数构造有两种方法，具体用哪一种构造得看题目给的条件了。如果题目给了f ( x)f ( x) 为什么值可以考虑第一中构造函数，如果题目给了f ( x)f ( x) ，则可以考虑第二种构造方法。f ()3 f ()2 f ()0先变形：变成一阶导函数和原函数之间关系f ()f ( x)e2 f (2 x)f (x)f ()e 2 x2 f ()e2 x所以构造的函数为：g( x)( f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)0这个函数确实不好构造，如果用微分方程来求会遇到复数根。g( x)g( x)f 2 ( x)2 f ( x)( f ( x) 2( f ( x)f ( x)实际做的时候还得看题目是否给了f ( x)的一些条件，如果在某个开区间内不为0，而构造出来的函数在闭区间端点取值相等，便可用罗而定理来证明。具体来看看题目：1、 设f (x) 在0,1 上连续，在 (0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(1 /2)=1 证明：（1） 、存在( 1 ,1), 使得 f () 2（2） 、存在(0,),使得f ()f ()1（1） 、对一问直接构造函数用零点定理：f ( x)f ( x)x 具体详细步骤就不写了。（2） 、该问主要问题是如何构造函数：如果熟练的话用上面所讲方法来构造：f ()f ()1先变形f ()f ( f ( x)e x)1xe x构造函数为g( x)( f ( x)x)e x另：用微分方程求解法来求出要构造的函数f ()1f ()( f (x)x)f ( x)xln( f (x)x)xcf ( x)xex cexc( f (x)x)e xc把常数退换掉之后就是要构造的函数g( x)( f (x)x) e x函数构造出来了，具体步骤自己去做。b2、设f ( x)在a,b 上连续， f(x) 在(a,b)内二阶可导， f(a)=f(b)=0,f (x)dx0a证明：（ 1）存在1 ,2(a,b)使得f ( 1 )f (1 ), f (2 )f (2 )（ 2）存在(a, b),1 ,2使得f ()f ()（1） 、第一问中的函数构造：f ( x)f ( x)e x（2） 、第二问中函数构造有两种构造方法，上面讲解中说道了我们在这用第一种g( x)( f ( x)xf (x)e原因在于第一问中f ( x)f ( x) =0 符合此题构造。具体详细步骤自己去写写。3、设奇函数f (x)在1,1 上具有二阶导数，且f(1)=1,证明：(1) 存在(0,1),使得f ()1(2) 存在(1,1), 使得f ()f ()1第一问中证明等式，要么用罗尔定理，要么介值定理，要么零点本题很容易想到用罗尔定理构造函数来求，因为涉及到了导函数（1） 、 f (x)f (x)x ，题目中提到奇函数，f(0)=0有 f(0)=f(1)=0 从而用罗尔定理就出来了。（2） 、第二问中的结论出发来构造函数，从上面讲的方法来看，直接就可以写出要构造的函数先变形下：f (f ( x)g( x)exf