矩阵乘积的运算法则的证明

矩阵乘积的运算法则的证明矩阵乘积的运算法则精品资料1 乘法结合律：若ac m n, bc n p,cp q ，则 a( bc )( ab)c .c2 乘法左分配律：若a和 b 是两个mn 矩阵，且 c 是一个 np 矩阵，则( ab)cacbc .3 乘法右分配律：若a是一个mn 矩阵，并且b 和 c 是两个 np 矩阵，则a( bc)acbc .4 若是一个标量，并且a和 b 是两个nm 矩阵，则( ab)ab .证明 1先设 n 阶矩阵为a(a ij) , b(bij ) ,c(cij) , ab(d ij) , bc(eij )abc( f ij ), a( bc )(g ij) ,有矩阵的乘法得：d ijai1b1 jai 2 b2 jain bnj .i , j1,2neijbi1c1 jbi 2c2 jbin cnj .i , j1,2nfijd i1 c1 jdi 2 c2 jd in cnj .i , j1,2ngijai1 e1 jai 2 e2 ja in enj .i , j1,2n故对任意i, j1,2n 有：fijd i1 c1 jdi 2 c2 jd in cnj( ai 1b11ai 2b21a in bn1 )c1 j( ai 1b12ai 2b22ain bn2 )c2 j(ai 1b1nai 2 b2nain bnn )cnjai1 (b11c1 jb12c2 jb1n cnj )ai 2 (b21c1 jb22 c2 jb2 n cnj )ain (bn1 c1 jbn2 c2 jbnn cnj )ai1e1 jai 2e2 jain enj= gij故 (ab )ca(bc )再看a(aik ) mn, b(bkj ) np , c(c jt) pq ,ab(d ij) mp,bc(ekt ) nq,a( bc )( g it ) mq ,有矩阵的乘法得：d ijai1b1 jai 2 b2 jain bnj .i , j1,2nektbk1 c1tbk 2 c2 tbkp cpt .k1,2n,t1,2qfitd i1 c1tdi 2 c2 td ip c pt .i1,2m,t1,2qgitai1 e1tai 2 e2 tain ent .i1,2m, t1,2q故对任意的i1,2m,j1,2p,k1,2n,t1,2q 有：fitd i1c1tdi 2 c2td ip c pt( ai 1b11ai 2 b21a in bn1 ) c1t( ai 1b12ai 2b22ain bn2 )c2t(ai1b1pai 2 b2 pain bnp )cptai1 (b11c1tb12c2 tb1 p c pt )ai 2 (b21c1tb22 c2 tb2 p cpt )ain (bn1 c1tbn2 c2 tbnp c pt )6ai1e1tai 2 e2 ta in ent= gij故 ( ab)ca(bc )证明 2设 aij 表示矩阵a的第 i 行，第j 列上的元素，则有( ab)c ij( aikkaik ckjkbik )c kjbik ckjk= ( ac) ij(bc ) ij故证出矩阵乘法左分配律.证明 3同理矩阵乘法左分配律可得(ac ) ij(bc )ijaik ckjkbik ckjk( aikkbik )c kj=( ab)c ij故证出矩阵乘法左分配律.证明 4设 a(aij ) mna11 a21a12 a22a1n a2 n， b(bij ) mnb11 b21b12 b22b1n b2n，可得 abam1a11 a21am2b11 b21a12 a22amnb12 b22a1n a2 nb1 nb2 nbm1，bm2bmnam1bm1am2bm2amnbmn(a11b11)(a12b12 )(a1nb1n )(a21b21 )(a22b22 )(a2nb2n )(am1bm1 )(am2bm2 )(amnbmn )a11a12a1nb11b12b1n( ab)aa21a22a2 n，bb21b22b2nam1am 2(a11abb11 )(a21b21)amn(a12 (a22bm1b12 )b22 )(a1n( a2nbm