221综合法和分析法

2 2 1综合法和分析法 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 复习 直接证明是从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推理证明结论的真实性 常用的直接证明方法有 综合法与分析法 综合法 引例 四边形ABCD是平行四边形 求证 AB CD BC DA 证明连结AC 因为四边形ABCD是平行四边形 所以AB CD BC DA 又AC CA 故AB CD BC DA 本题条件 已知定义 已知定理 已知公理 本题结论 从已知条件出发 以已知定义 公理 定理等为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法叫做综合法 顺推证法 从已知条件出发 以已知定义 公理 定理等为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 这种证明方法叫做综合法 顺推证法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 特点 由因导果 例1 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和与这两个数的积的不等关系 基本不等式 符号语言 图形语言 文字语言 学会语言转换 找出隐含条件 例2 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 例 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 证明 解决数学问题时 往往要先作语言的转换 如把文字语言转换成符号语言 或把符号语言转换成图形语言 还要通过细致的分析 把其中的隐含条件明确表示出来 分析法 分析基本不等式 证明 要证 只需证 只需证 只需证 因为成立 所以成立 a 0 b 0 的证明 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 又叫 逆推证法 或 执果索因法 特点 执果索因 用框图表示分析法的思考过程 特点 分析法 从结论出发 寻找结论成立的充分条件直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 要证 只要证 只需证 显然成立上述各步均可逆所以结论成立 格式 解 要证 只需证 展开 只需证 只需证21 25 因为21 25成立 所以成立 分析基本不等式 a 0 b 0 的证明 证明 要证 只需证 只需证 只需证 因为 成立所以成立 还原成综合法 例2 如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证AF SC 证明 要证AF SC 只需证 SC 平面AEF 只需证 AE SC 只需证 AE 平面SBC 只需证 AE BC 只需证 BC 平面SAB 只需证 BC SA 只需证 SA 平面ABC 因为 SA 平面ABC成立 所以 AF SC成立 例3 设a b c为一个三角形的三边 且s2 2ab 试证 s 2a 解 欲证s 2a 只需证 即证b s 也即证 即证b a c 因为a b c为一个三角形的三边 所以b a c成立 故s 2a成立 例4 ABC三边长 的倒数成等差数列 求证 证明 因为a b c为 ABC三边 所以a c b 所以cosB 0 因此 证 用P表示已知条件 定义 定理 公理等 用Q表示要证的结论 则上述过程可用框图表示为 直接证明 数学理论 上述两种证法有什么异同 都是直接证明 证法1从已知条件出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止综合法 相同 不同 证法2从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法 小结 1 在数学证明中 综合法和分析法是两种最常用的数学方法 若从已知入手能找到证明的途径 则用综合法 否则用分析法 2 综合法的每步推理都是寻找必要条件 分析法的每步推理都是寻找充分条件 在解题表述中要注意语