傅里叶变换公式

第2章信号分析本章提要信号分类周期信号分析 -傅里叶级数非周期信号分析-傅里叶变换脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析： 从信号中提取有用信息的方法和手段21信号的分类两大类： 确定性信号，非确定性信号确定性信号：给定条件下取值是确定的。进一步分为：周期信号，- 可编辑修改 -非周期信号。x(t)x(t)质量 mx0弹簧刚度 kot质量弹簧系统的力学模型x(t )acoskmt0非确定性信号（随机信号） ：给定条件下取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号 ：属于离散信号， 幅值离散，并用二进制表示。信号描述方法简谐信号及其三个要素x0 cos(0t0 )幅值频率相角时域描述 如简谐信号频域描述以信号的频率结构来描述信号的方 法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。22周期信号与离散频谱 一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t )x(tt )x(t2t )x(tnt )(n1， 2 ， )t：周期。注意 n的取值：周期信号 “无始无终”#傅里叶级数的三角函数展开式x(t )a0( ann1cosn0tbn sin n0t)（n=1, 2, 3 ，）傅立叶系数：ta120tt 2x(t)dtta22ntt 2tx(t)c o sn0t d t22bntt2x(t)si nn0t d t式中 -周期；0- 基频,0=2/t。三角函数展开式的另一种形式：n 次谐波的幅值n 次谐波的频率x(t )a0ann1cos(n0tn )n 次谐波信号的均值， 直流分量n 次谐波的相角ab22annnbnnarctgann1,2,3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法频谱图ann 0202周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性例1 ：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：x(t)ta-at解：信号的基频非对称周期方波周期方波20t傅里叶系数奇函数： a02tan0t 的偶函数bttn2x(t)24tsin n0tdt2 a2asin nt00tdt1cosnn4an为奇数n0n为偶数2n次谐波的幅值和相角ab2annnbn4 an，n2( n最后得傅立叶级数1,3,5,)x(t )频谱图4a cos(nt)0nn2(n1,3,5,)4 aan4 a4 an35 03 05 02幅频谱图相频谱图二、周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式ejtcostj sint或c o s ts i nt1e2je2jte jtjtejtj1傅立叶级数的复指数形式x(t )cnejn0 t( n0,1,2,3,)n复数傅里叶系数的表达式tc0a01t2t2x(t )dtcntanjbn 2t12x(t)ejnt20t dt其中an， bn的计算公式与三角函数形式相同，只是 n包括全部整数。一般cn是个复数。因为an是n的偶函数 ，bn是n的奇函数， 因此#ana nb nbn即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。cn的复指数形式jncncn e共轭性还可以表示为cnc nnn，即： cn与c-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系对于n0ac(22nbn )n2an2（等于三角函数模的一半）arctgbnn相角相等）anc n2an（与三角函数形式中的bnnarctganarctg bnan用cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图 :|cn|-，相频谱图 :n-ca1aa1na212c2cn0200 20n2020111n220002021单边频谱双边频谱第二种：实谱频谱图 :recn-，虚频谱图：imcn-；也就是 an-和-bn-.#23非周期信号与连续频谱分两类：a. 准周期信号定义：由没有公共周期 （频率） 的周期信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法： 周期分量的频率比 （或周期比）不是有理数b. 瞬变非周期信号x(t)x(t)x(t)ttt几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（ 2.22 ）借助（ 2.16 ）演变成：x(t)的傅里叶变换 x( )x(t )1x(t )ej2t dte jt d定义x(t)的傅里叶变换 x()x ()x(t) ejt dtx()的傅里叶反变换x(t):x(t )12x ()e jt d傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波1x (2)e jtd的叠加。称x()其为函数 x(t)的频谱密度函数。jn0 t对应关系：1x () d2e jtcnex()描述了x(t)的频率结构x()的指数形式为x ()x () ej()以频率 f (hz) 为自变量， 因为f =w/(2p) ， 得x(f)x ( t ) ej 2f t dtx( t )x ( f) e j 2f t dfx( f )的指数形式x ( f )x ( f) e j( f )频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图相位频谱图x ()()实频谱图 rex()和虚频谱图 im( )如果x()是实函数，可用一张 x()图表示。负值理解为幅值为 x()的绝对值，相角为或。二、傅里叶变换的主要性质（一）叠加性a1x1(t)a2 x2(t) fta1 x1 ( f )a2 x 2 ( f )（二）对称性x (t)ftx(f )（注意翻转）ft（三）时移性质x(tt0 )x ( f )ej 2f t 0（幅值不变，相位随f改变2ft0）（四）频移性质x(t)ej 2ft 0ftx ( ff 0 )（注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性x(at)（六）微分性质1 x ( f )aad nx(t )ft( j 2f ) n x ( f )dt n（七）卷积性质（1） 卷积定义x(t )y(t )x()y(t)d（2） 卷积定理x(t)x(t)y(t)fty(t)ftx ( f x ( f )y( f ) y( f )三、脉冲函数及其频谱（一）脉冲函数：x(t)1/-/2/2(t )tx(t)a(tt0tt0 )定义 函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值：(t)t00t0脉冲强度（面积）( t ) dt1（二）脉冲函数的样质1. 脉冲函数的采性（相乘）样质：(t )x(t 0 )(tt0 )(tt0 )x(0)(t )x(t)x(t)tt0tx(t)(tt0 )0tt00强度：x(t)(tt 0 )dtx(t 0)(tt 0) dtx(t0 )函数值：结论：1.结果是一个脉冲， 脉冲强度是 x(t)在脉冲发生时刻的函数值2. 脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。2 脉冲函数的卷积性质：(a)利用结论 2x(t )(t)x()(t)dx(t)x(t)(t)d(b)利用结论 2x(t)(tt0)x()(tt0)dx(tx(tt0 )t0 )(tt0)d结论： 平移x(t)(tt0 )x(tt0 )t0t（三）脉冲函数的频谱(t)ft( f )(t)e j 2ftdt1均匀幅值谱由此导出的其他 3个结果(tt0 )ftej 2ft 0（利用时移性1ft质）ff（利用对称性质）ej 2f 0tft( ff 0 )（对上式，再用频移性质）（四）正弦函数和余弦函数的频谱cos2ft1ej