复变函数期末考试复习题及答案详解

;.;.复变函数考试试题（一）dz三. 计算题（ 40 分）：11、|zz0 |1 ( zz )n . （ n 为自然数）1.设f ( z)( z1)( z2) ，求f ( z) 在 d z : 0| z |102.sin 2 zcos2z .内的罗朗展式.3. 函数sin z的周期为 .2.|z|11 coszdz.4. 设f (z)12z1 ，则f ( z)的孤立奇点有 .3 27f ( z)3.设cz1cd，其中 z :| z |3 ，试求f (1i ).5. 幂级数nzn 的收敛半径为 .n 0w4.求复数z1z1 的实部与虚部.6. 若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是 .四.证明题 .(20分)7. 若lim znnlim z1，则 nz2.znn .1.函数f ( z)在区域 d 内解析 . 证明：如果| f ( z)|在 d 内为常数，那么它在 d 内为常数 .ez8. res( zn,0) ，其中n 为自然数 .2. 试证 :f (z)z(1z) 在割去线段0rez1的 z 平面内能分出两sin9.z的孤立奇点为 .个单值解析分支, 并求出支割线0re z的值 .1 上岸取正值的那支在z1zlimf ( z) 二.填空题 . (20 分)复变函数考试试题（二）10. 若z0 是 f ( z) 的极点，则zz0.1. 设 zi ，则 | z | ,arg z , z 1. 求函数3sin( 2 z )的幂级数展开式.2. 设f ( z)(x 22 xy)i (1sin( x2y 2),zxiyc，则2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正lif (z)m .实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z1 i3. |zz0 |1 ( zdzz )n . （ n 为自然数）zi 处的值 .i4. 幂级数nz nn 00的收敛半径为 .3.计算积分：i的右半圆 .| z | dz，积分路径为（1）单位圆（i| z |1）5. 若 z0 是 f(z) 的 m 阶零点且 m0，则 z0 是6. 函数 ez 的周期为 .f ( z) 的 零点.4. 求sin zdzz 22( z)2.57.方程 2 zz33z810 在单位圆内的零点个数为 .四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 d 内解析，试证：f (z)在 d 内为常数的充要条件是f ( z)8. 设 f ( z)1z2 ，则f ( z) 的孤立奇点有 .在 d 内解析 .9. 函数f (z)| z | 的不解析点之集为 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理.复变函数考试试题（三）z1二.填空题 . (20分)10.res(z4,1) .1. 设f ( z)z1z21，则 f ( z) 的定义域为 .三. 计算题 . (40 分)2. 函数 e的周期为 .z3. 若 znn2i (11n1 n)，则nlim zn .n2.试求幂级数n!n n的收敛半径 .4. sin 2 zcos2 z .0dznnezdz5. |zz0 |1 ( zz )n . （ n 为自然数）3.算下列积分：c z2 ( z2，其中 c 是| z|1.9)6.幂级数nxnn 0的收敛半径为 .4.求 z92z6z28z20 在| z|1 内根的个数 .1四.证明题 . (20分)7.设f (z)z21，则 f ( z) 的孤立奇点有 .1.函数f ( z)在区域 d 内解析 .证明：如果| f ( z)|在 d 内为常8. 设 ez1，则z .数，那么它在d 内为常数 .9. 若z0 是f ( z) 的极点，则limf ( z) .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数zz0ezr及 m，使得当| z|r时10.res(nnz,0) .|f ( z) |m| z |，三.计算题 . (40分)1证 明 f( z) 是一个至多n 次的多项式或一常数。1.将函数f ( z)z2ez 在圆环域 0z内展为 laurent级数.复变函数考试试题（四）二. 填空题 . (20 分)1ez1. 设 z，则 re z1i ,imz .2. 设f (z)，求z21res( f( z),).2. 若lim znn，则 lim z1nz2.zn .nzdz.z 3.|z|2 (9z2 )( zi ).3. 函数 e的周期为.4. 函数f (z)11z2的幂级数展开式为 4. 函数f ( z)1ez11z 有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它5. 若函数 f(z)在复平面上处处解析，则称它是 .6. 若函数f(z) 在区域 d 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d 内的 .的阶数） .四. 证明题 . (20 分)7. 设 c :| z|1，则( zc1)dz .1. 证明：若函数析.f ( z)在上半平面解析，则函数f ( z) 在下半平面解sin8.zz的孤立奇点为 .2. 证明 z46 z30 方程在 1| z |2 内仅有 3 个根 .9.若z0 是f ( z) 的极点，则limf ( z) .zz0ez复变函数考试试题（五）10.res(zn,0) .二. 填空题 .（ 20 分）三.计算题 . (40 分)31. 解方程 z10 .1. 设 z13i ，则 | z | ,arg z , z .2. 当z 时，ze 为实数 .zz1. 求复数1的实部与虚部 .3. 设 e1，则z .z1z4. e 的 周 期 为 .2.计算积分：ire zdz，5. 设 c :| z|1，则( zc1) dz .l在这里 l 表示连接原点到1i 的直线段 .z6. res(ez1,0) .3.求积分： i2d012acos，其中 0a1 .a27.若函数f(z) 在区域 d 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是d 内的 。14.应用儒歇定理求方程z(z) ，在 |z|1内根的个数，在这里8.函数f (z)1z2的幂级数展开式为 .( z) 在| z |1上解析，并且|( z) |1.sin9.z的孤立奇点为 .四. 证明题 . (20 分)2z1.证明函数f ( z)| z |除去在 z0外，处处不可微.10.设 c 是以为 a 心，r 为半径的圆周， 则1n dz .2.设 f ( z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数r（ n 为自然数） 三. 计算题 . (40 分)c (za)及 m，使得当| z |r时|f ( z) |m| z |n ，证明 : f(z) 是一个至多n 次的多项式或一常数.10.公式eixcos xi sinx 称为 .二、计算题（30 分）1.一、填空题（ 20 分）复变函数考试试题（六）n1、 lim2i.n621. 若 znn2i (11 )n1nn，则 lim zn .2、设f (z)371 dcz，其中cz: z3 ，试求f (1i ) .2. 设f (z)1，则z21f ( z)的定义域为3、设f (z)ezz21，求 re s(f (z), i ) . .3. 函数 sin z的周期为 .224、求函数sin z36在 0z内的罗朗展式 .4. sinzcosz .5、求复数zz1 的实部与虚部 .5. 幂级数nznn 0的收敛半径为 .6、求 ewz1i3 的值.6. 若z0 是f (z) 的 m 阶零点且m1，则z0 是 f( z) 的 零三、证明题（20 分）点.7. 若函数7f ( z) 在整个复平面处处解析，则称它是 .1、 方程 z9 z66 z310 在单位圆内的根的个数为6.8. 函数f ( z)z 的不解析点之集为 .2、 若函数f ( z)u( x, y)iv (x, y) 在区域 d 内解析，v(x, y) 等于常数，9. 方程2 z5z33 z80 在单位圆内的零点个数为 .则 f (z) 在 d 恒等于常数 .3 、 若z0 是f ( z) 的 m 阶零点，则z0 是1f (z)的 m 阶极点 .二填空题试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案计算下列积分 （分）sin zz222in1.0n11；2. 1；3.2k， (kz) ；4.zi ；5.1(1)z 2(z) 22dz ；(2)z 4 z2 ( zdz 3)6.整函数；7.；8.1(n1)!；9.0 ；2计算积分d（分）10.053cos求下列幂级数的收敛半径（分）(1)(1i )n zn ；(2)n 1( n!) 2zn nnn 1三计算题 .1. 解因为 0f ( z)z1,所以 0z1111zn1z n().设f ( z)my3nx2 yi (x3lxy 2 ) 为复平面上的解析函数，试确定 l ，( z1)(z2) 1z2(1z)n 022 n 02m ， n 的值（分） 三、证明题2. 解因为设函数f (z) 在区域 d 内解析，f (z) 在区域 d 内也解析， 证明f ( z) 必z21res f ( z)limlim1,zzcoszzsin z为常数（分）222试证明数（分）azazb0 的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常res fz(z)lim2lim11.令 f ( z)uiv,则 f (z)2u2v2c2 .zzcoszz222sin z两边分别对x, y 求偏导数 , 得uuxuuyvvxvvy0( 1 )0( 2 )所以1dz2i(re s f (z)re s f(z) 0 .z 2 coszzz22因为函数在d 内解析 , 所以 uxvy , uyvx . 代入(2) 则上述方程组变3. 解 令内,()3271 , 则它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在z3()为uuxvuxvvx uvx0.消去 ux 得,0(u 2v2)vx0 .f (z)cdz2iz(z) .221) 若 uv0 , 则f ( z)0为常数 .所 以 f (1i )2i(z) z 1 i2i (136i)2(613i) .2) 若 vx0 ,由 方 程(1)(2)及c.r. 方 程 有 ux0,uy0 ,4. 解 令 zabi , 则vy0 .wz11212 a(1 b i) 12a(1 )b 2.z1z1(a12 )b2(a21 )b2a(21 )b2所以 uc,vc .( c , c 为常数 ).1212z12(a1)z12b所以 f( z)c1ic 2 为常数 .故re()1 z1( a1)22 ,im()bz1.(a1)2b2四. 证明题 .2. 证明f ( z)z(1z) 的支点为z0,1 . 于是割去线段0re z1 的1. 证明设在 d 内f (z)c .z 平面内变点就不可能单绕0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支.由于当 z 从支割线上岸一点出发,连续变动到z0,1时, 只有 z 的幅角增加. 所以则 f ( z)izre2 k2,(k0,1) .f ( z)z(1z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值,2又因为在正实轴去正实值，所以k0 .于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z1 的幅角为,2所以 f(i )ie 4 .i故 f (1)2e22i .3. 单位圆的右半圆周为zei,.22i2ii2复变函数考试试题（二）参考答案所以4. 解z dzdeei222i .二.填空题2in1sin zdzz 22( z)22 i (sin z)z22 i coszz2 =0.1.1 ，i ；2.3(1sin 2)i ；3.2；4. 1；0n1四.证明题 .1.证明 ( 必要性 )令f (z)c1ic 2 ,则f (z)c1ic2 . ( c1, c2 为实常数 ).5.m1 .令 u( x, y)c1, v( x, y)c2 . 则 uxvyuyvx0 .6.2ki ， ( kz) .7. 0；8.i ；9.r；即 u, v 满足 c.r., 且ux ,vy , uy, vx 连续 , 故f ( z) 在 d 内解析 .10. 0.三. 计算题( 充分性 )令 f ( z)uiv , 则f (z)uiv ,因为 f (z) 与 f (z) 在 d 内解析 , 所以(1)n (2 z3 )2 n 13(1)n 22n1 z6n 3uv ,uvu(v)v ,u(v )v1. 解sin(2 z ).xyyx ,且xyyyxx .n 0(2 n1)!n 0(2n1)!比较等式两边得uxvyuyvx0. 从而在d 内u, v 均为常数, 故if (z) 在 d 内为常数 .n01n1n02. 解 令zre.2. 即要证 “任一次方程a zna zn 1aza0(a0)有且只有n 个根 ”.cn!(n1n) 1n1nn1f ( z)2. 解l i mnl i ml i m ()l i m (1 e.)n证明令01n 1nncn 1nn( n1) !nnnna1rmaxan ,1a0所以收敛半径为e .ez3. 解 令f (z)22azna zn1aza0,取,当z在c :zr上时,有, 则res fez1( z)2.( z)arn 1ara( aa) rn 1arn .z (z9)z 0z991n 1n1n0f ( z) .nn 1故原式z 02i re s f ( z)2i .z 09由儒歇定理知在圆zr 内, 方程a0 za1zan1 zan0与4. 解 令f (z)z92 z6z22 ,(z)8 z .0a zn0有相n则在 c :z1上 f (z)与(z) 均解析 , 且f ( z)6( z)8 , 故同个数的根 . 而a0 z0在zr内有一个n重根z0 . 因此 n由儒歇定理有次方程在zr内有 n个根 .n ( f, c)n ( f, c). 即1在z1 内, 方程只有一个根.复变函数考试试题（三）参考答案四. 证明题 .1. 证明证明 设在 d 内f (z)c .二. 填空题 .令 f ( z)uiv,2则 f (z)u2v2c2 .1.z zi, 且zc;2.2 ki(kz) ;3.1ei ;4. 1;5.2 in1;0n1两边分别对x, y 求偏导数 , 得uuxuuyvvxvvy0( 1 )0( 2 )6. 1;7.i ;8.z1(2k1)i ;9.;因为函数在d 内解析 , 所以 uxvy , uyvx . 代入(2) 则上述方程组变10.(n.1)!为三. 计算题 .111z n 2uuxvvx0.消去 ux 得,(u 2v2)vx0 .1. 解z2ezz2 (1).vuxuvx0z2! z2n 0n!1) u 2v20 , 则f (z)0为常数 .1.(n1)!2) 若 vx0 , 由方程(1)(2)及c.r. 方程有ux0,uy0 ,三. 计算题 . 1.vy0 .解 : z32k1zcos32ki sin3k0,1,2所以 uc1 ,vc2 .( c1, c2 为常数 ).z1cos 313i sini322所 以 f ( z)c1ic 2 为常数 .z2cos5i sin15132. 证明取rr,则对一 切正整数kn时,z3cos3i sinizz1322f (k ) (0)k !f ( z)dzk !mr n.2. 解re s f ( z)ee ,res f ( z)ee.2z rzk 1r kz 1z12z1z12z 1z1于是由 r 的任意性知对一切kn均有f ( k) (0)0 .故原式2i (re s f (z)re s f(z)i( ee1 ) .nz 1z1故 f ( z)cn zn , 即k 0f (z) 是一个至多n 次多项式或常数.3. 解 原式2i re s fzi(z)2z9zi2.zi5复变函数考试试题（四）参考答案11zez1.4. 解ez1z = z(ez1) ，令z(ez1)0 ， 得 z0, z2ki ，二.填空题 .;2.;3.2 ki(kz);( z1) ;5. 整函数 ;1.1,122k1,2,z4. lim (1zz1 )lim ze1lim1ezzz(1)n z2 nn 0而z0e1limzzz0 (eezzz1) z1z0 e1ze6. 亚纯函数 ;7. 0;8.z0 ;9.;10.z0 eeze2z0 为可去奇点当 z2ki 时， ( k0) , zez10一.判断题 .1 6 10 .(ez1) zez1zez0二.填空题 .而一阶极点 .z2k iz2k iz2k i 为1.2, 13i ;2.a32 ki(kz,a为任意实数 ) ;四.证明题 .1.证明设 f ( z)f ( z) , 在下半平面内任取一点z0 ,z 是下半平面内异3.(2 k6. 0;1) i ,(kz);4.2ki ,( kz);5.0;于 z0 的点, 考虑7. 亚纯函数 ;8.(1)n z2nn 0( z1) ;9. 0;10.limf ( z)f ( z0 )limf (z)f ( z0 )limf ( z)f ( z0 ).2in1zz0zz0zz 0zz0zz 0zz0.0n1而 z0,z 在 上 半 平 面 内 ,已 知f (z)在 上 半 平 面 解 析 ,因 此三. 计算题 .f (z0 )f ( z0 ) , 从 而f (z)f (z ) 在下半平面内解析.41. 解 令 zabi , 则2. 证明令f (z)6 z3 ,(z)z , 则 f (z) 与( z) 在全平面解析,且在 c1 : z2 上,f ( z)15(z)16 ,wz11212 a(1 b i) 12a(1 )b 2.故在 z2 内 n ( f,c1 )n (,c1)4 .z1z1(a12 )b2(a21 )b2a(21 )b2在 c2 : z1 上,f ( z)3( z)1 ,故re( zz1)11( a2( a1),1)2b 2im( zz1)1 (a2b.1)2b2故在 z1 内 n ( f, c2 )n ( f ,c2 )1 .2. 解 连接原点及 1i 的直线段的参数方程为z(1i )t0t1 ,所以 f在 1z2 内仅有三个零点, 即原方程在1z2 内仅有三111i个根 .故re zdzcire(10dzi )t (1i )dt(1i )tdt.02复变函数考试试题（五）参考答案3. 令 ze, 则 d. 当 a0 时iz12a cos 1a 21 dza( zz 1)a2( za)(1 zaz),113.24.15.整函数8.9.0复变函数考试试题（六）参考答案故 iiz 1 (za)(1az), 且在圆z1 内 f( z)( za)(1只以az)二、填空题：1.1ei2.zza为一级极点,在11z1上无奇点,故16.m1 阶7.re s fz a(z)1az z a2 ,(01aa1) , 由残数定理有10.欧拉公式三、计算题：12i2i re s f iz a(z)1a 2,(0a1) .2i1.解：因为1151,4.解令f ( z)z,则f ( z),( z) 在 z1 内解析 ,且在c : z1 上,69366(z)1f ( z) ,2in故 lim()0 .所以在z一个根 .1 内,n ( f,c )n ( f , c)1 , 即原方程在z1内只有n62. 解：1i23,四. 证明题 .1. 证明因为u( x, y)x2y2 ,v( x, y)0,故1f (z)f ()du2 x, u2 y, vv02 iczxyxy.这四个偏导数在z 平面上处处连续, 但只在 z0 处满足 c.r. 条件 ,3271d.故 f (z) 只在除了z0 外处处不可微 .cz2. 证明取rr,则对一 切正整数kn时,f (k ) (0)k !f ( z)dzk !mr n.因此f()2 i( 3271 )2z rzk 1r k2于是由 r 的任意性知对一切kn均有nf (k ) (0)0 .故 f ( z)2i (3 z7 z1)故 f ( z)cn zn , 即k 0f ( z) 是一个至多n 次多项式或常数.f (1i)2i (6z7) 1 i2i(136i)2(613i ) .3. 解：ezezz212(11)zizi根据儒歇定理，f ( z) 与f ( z)( z) 在单位圆内有相同个数的零点，而 f (z) 的零点个数为6，故 z79 z66 z310 在单位圆内的根的个数ire s( f(z), i )e . 2为 6.2. 证明：设 v( x, y)abi ，则 vxvy0 , 由于f (z)uiv 在内 d4. 解：sin z3(1)n ( z3 )2 n 1,解析，因此( x, y)d 有uxvy0 ,uyvx0 .n 0sin z3(2 n(1)n1)!z6n 3 .于是 u(x, y)数.cdi 故f ( z)( ac)(bd )i ，即f ( z) 在内 d 恒为常6zn 0(2 n1)!z1x1iy(x2y21)z1z1iy( x1)22 yi3.证明：由于z0 是f ( z) 的 m 阶零点，从而可设5. 解：设zxiy , 则 wy2.f( z)( zz0)m g( z) ，x2y212 y其中 g( z) 在 z 的某邻域内解析且g( z)0 ，re w(x1)22 ,im wy( x1)2y2 .00111于是mi6. 解 ： e 3cos()i sin()1 (13i ).f (z)(zz0 )g(z)332由 g (z )0 可知存在 z 的某邻域 d ，在 d 内恒有g(z)0 ，因此1四、 1. 证明：设f (z)9z6 ,( z)z76z31,0011g(z)则 在 z1上，f ( z)9,( z)1618,即有f ( z)(z) .在内 d1 解析，故z0 为1f ( z)的 m 阶极点 .复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）10、若函数 f(z)在区域 d 内的解析， 且在 d 内某个圆内恒为常数， 则在区域 d 内恒等于常数。（）二、填空题 （4x5=20 分）一、判断题（ 4x10=40 分）：2221、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。（）1、若 c 是单位圆周， n 是自然数，则c ( z1n dz 。z0 )2、有界整函数必在整个复平面为常数。 （）2、设f ( z)( x2 xy)i (1sin( xy ),zxiyc ，则3、若函数f ( z)u( x, y)iv ( x, y) 在 d 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都limf ( z) 。z1 i在 d 内连续。 ()4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）3、设f ( z)1z21，则 f(z)的定义域为 。5、若 z0 是f ( z) 的 m 阶零点，则 z0 是 1/f ( z) 的 m 阶极点。（）4、nzn n 0的收敛半径为 。6、若 f(z)在 z0 处满足柯西 -黎曼条件，则f(z)在 z0 解析。（）ez5、 res(n,0) 。7、若limf ( z) 存在且有限，则z0 是函数的可去奇点。（）zzz0三、计算题 （8x5=40 分）：8、若 f(z)在单连通区域d 内解析，则对d 内任一简单闭曲线cf (z)1c都有f ( z)dz0 。（）1、设( z1)( z2) ，求f ( z) 在 d z : 0| z |1 内的罗朗展9、若函数 f(z)是单连通区域 d 内的解析函数， 则它在 d 内有任意式。阶导数。（）ez 1 sin zdz1dz2、求|z| 12i|z|3 ( z1)( z4) 。3、求函数3sin( 2 z )的幂级数展开式。4、求f ( z)1( z1)( z2) 在 2| z |内的罗朗展式。5、求 z45 z10 ，在|z|1 内根的个数。复变函数考试试题（二）一、判断题 （4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续。（）2、有界整函数必为常数。 （）3、若 zn 收敛，则rezn 与imzn 都收敛。 ()4、若 f(z)在区域 d 内解析，且f (z)0 ，则f ( z)c（常数）。（）5、若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）三、计算题 （8x5=40 分）：、16、若 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足柯西 -黎曼条件。（）1|z|1 cos zdz.7、若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析。（）8、若 f(z)在区域 d 内解析，则 |f(z)|也在 d 内解析。（）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。2、求res(2eiz1z2ni,i ).3、 lim.（）n610、cos z 与 sin z 的周期均为 2k二、填空题 （4x5=20 分）。（）4、求f ( z)1(z1)( z在 2| z |2)内的罗朗展式。1 、 |zz0 |1 ( zd