详解数列求和的方法+典型例题

详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n 项和公式-可编辑修改 -sn( a1n2an )na1n(n1) d22、等比数列的前n 项和公式na1 (q1)sna1 (1qn )a1an q (q1)1q1q3、常用几个数列的求和公式（ 1）、 snnk123k 1n1 n( n1)2（ 2）、 sn（ 3）、 snnk 212k1nk 313k122322333n 216n 3 12n( nn(n1)( 2n1)1) 2第二类：乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 anbn 的前 n 项和，其中 an ， bn 分别是等差数列和等比数列。例 1 ：求数列 nq n1 ( q 为常数 )的前 n 项和。解：、若q =0 ， 则 sn =01、若q =1 ，则 sn123nn(n1)2、若 q 0 且 q 1，则 sn12q3q 2nq n 1qsnq2q 23q 3nq n式式：(1q) sn1qq 2q 3q n 1nq nsn1(11qqq 2q 3qn 1nq n )11q nsn(1q1qnq n )s1qnnqnn2(1q)1q综上所述：sn0(q1 n(n20)1)( q1)1qn 2nqn(q0且q1)(1q)1q解析：数列 nq n1 是由数列n 与q n 1对应项的积构成的， 此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：（ 1）、 ann(n1)nn1（ 2）、 an(2n(2n) 21)( 2 n11)122n(11)12n1（ 3）、 an1n(n1)( n2)1 12n(n1)1(n1)( n2)（4）n2n(n1)12 n2(n1)n(n1)n12 n1n2 n 1(n11)2 n,则sn11(n1) 2 n2、根式形式，如：an11n1nnn例 2 ：求数列112，1231，31，4n(n1)，的前 n 项和 sn解：1n(n=111)nn1sn1121112331n1n1s1n1例 3 ：求数列n11131，24，135，1n(n，的前 n 项和 sn2)1解：由于：n(n2)2n1=(11n2）111、an则： sn1(11)( 11 )2324( 11)nn2ns1 (12s3n111)2n1n21142n22n4解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2 一样剩下首尾两项，还是像例3 一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 (a1an ) 。)例 4 ：若函数f ( x)对任意 xr都有f ( x)f (1x)2 。（ 1） anf (0)f ( 1)n2f () nf ( n1 nf (1) ，数列 an 是等差数列吗？是证明你的结论；（ 2）求数列1anan 的的前 n 项和)1tn 。解：（1 ）、 anf (0)f ( 1 )nf ( 2)nf ( n1 nf (1)（倒序相加）anf (1)f ( n1 nf ( n2) nf (1 )nf (0)101nn12n21nnn则，由条件：对任意xr都有f (x)f (1x)2 。2 an2222（2 n1）ann1an 1n2an 1an1从而：数列 an 是 a12, d1 的等差数列。1（ 2）、anan 1( n11tn =11)( n2)111n1n2121tn =33445111（ n1） (n2)1111n2334n故： tn =2n4n1n22n22n4解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中， 要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 5 ：求数列 1+ nn(n1)2 n 1的前 n 项和 sn解：令 an1n(n1)bnn2 n 1sn(a1b1 )(a 2b2 )(a 3b3 )(anbn )sn(a1sn(1a 2a3111an )1(b11b2b31)(1bn )22322n2n 1 )221sn(1)n133(122nn1322n2n 1 )令tn122322n2 n 12tn2222323n2 n式式：(12) tn122 2232n 1n2 ntn(1222232 n 1n2n )12 ntn(12n2 n )tn(n1)2 n11n1n故： sn(1)( n1)2n1n1212(n1)2n1例 6 ：求数列 ( xnxn )的前 n 项和 sn12分析： 将 an(xn )用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。xn1xn( 1 ) 2xn1 ) 4 x x 2n22)(x解： an(xn1 ) 2xn= ( xn ) 22= x2 n21x2 n= x2 n1 2 n2()xns x22( 1 )2 x x42(1 2n2()xns( x2x4x 2n )(21) 2x( 1 ) 4x( 1 ) 2n x（首项x 2 ，公比x 2 等比数列）（常数列）（首项( 1) 2x，公比(1 ) 2x等比数列）、令tnx 2x4x2 n x1时， tnx2x 4x2n = 111n x1 时， tnx 2x4x 2nx2x 2nx2=21xx 2n 2x 22x1、令m n、令 gn22( 1) 2x2( 1 ) 4x2n( 1 ) 2nx1)2( 1 ) 4( 1 ) 2nx12x14x12n x1时， gn(111n x1 时， gn()()()xxx( 1 ) 2( 1 ) 2n( 1 ) 211x2 n 2x2x=xxx221(1 ) 222 n 2x=x2122n 2xx=x 21xxx2n 2x=2xx2x2 n 22x=x21x x 2n( x1)22nx2( x21)x2n1=x 2n (x 21)综上所述： x1时， sntnm ngnn2 nn4 n x1 时， sntnm ngn2 n 2x2x2n2nx12n22x1x(x1)这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中， 我们先研究通项， 通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式， 再代入公式求和。例 7 ：求数列9， 99 ，999 ，的前 n 项和 sn分 析 ： 此 数 列 也 既 不 是 等 差 数 列 也 不 是 等 比 数 列 启 发 学 生 先 归 纳 出 通 项 公 式na10 n1 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。n解：由于：an101则： sn99999ns(1011)(10 21)(1031)(10n1)ns(10110210310 n )(1111)s1010 n10nn11010n 110snn91111例 8 ： sn = 1232481n 2n1解：由于：annnnn221111则： sn = (123n)(248n )（等差 +等比，利用公式求和）2= 1 n(n1)211 (1211( 1 ) n ) 21