含参不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中， 经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：-可编辑修改 -类 型1 ： 设f (x)ax 2bxc(a0) ，（ 1 ）f ( x)0在xr 上 恒 成 立a0且0；（ 2）f (x)0在 xr 上恒成立a0且0 。类型 2：设f ( x)ax2bxc(a0)（1）当ba 0时，bf ( x)b0在x,上恒成立2a或2a或2a，f ()0f (x)0在x,0 上恒成立f ()0f ()0f ()0f ()0（2 ）当a0时，f ( x)0在x, 上恒成立bf ()0b bf (x)0在x,上恒成立2a或2a或2a类型 3：f ()00f ()0f (x)f (x)对一切 x对一切 xi 恒成立i 恒成立f ( x) minf (x)max。类型 4：f (x)(xi )g( x)对一切xi恒成立f ( x)的图象在 g( x)的图象的上方或f ( x) ming(x)max恒成立问题的解题的基本思路是： 根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数f (x)kxb, xm, n 有：f (x)0恒成立f (m)f (n)0, f ( x)00恒成立f ( m)0f ( n)0例 1：若不等式 2 x1m( x21) 对满足2m2 的所有 m 都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：m(x 21)(2 x1)0 ，；令f (m)m(x 21)(2 x1) ，则2m2 时，f (2)02( x21)(2 x1)0f (m)0 恒成立，所以只需f (2)0即2(x 21)(2 x1)，所以x0的范围是 x(17 , 123 ) 。2二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数f (x)ax 2bxc0(a0, xr) 有：（1 ）（2 ）f ( x)f ( x)0在x 0在xr 上恒成立r 上恒成立a0且0 ；a0且0例 2：若不等式 (m1)x 2(m1) x20 的解集是 r，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论， 就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1） ）当 m-1=0 时，元不等式化为20 恒成立，满足题意；（2） ） m10 时，只需m10(m1) 28(m1)，所以， m01,9) 。三、利用函数的最值（或值域）（1 ）f ( x)m 对任意 x 都成立f ( x) minm ；（2 ）f(x)m 对任意 x 都成立mf ( x) max 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在abc 中，已知f ( b)4 sin b sin 2 (4b)cos 2 b, 且 |2f (b)m |2恒成立，求实数m 的范围。解析：由f (b)4 sinbsin 2 (4b )cos 2 b 22 sin b1,0b,sin bm(0,1，f ( b)2f (b)(1,3 ，| f (b)m |2 恒成立，2f (b)m2 ，即mf ( b)2恒成立，m(1,3例 4：（1）求使不等式 asin xcos x, x 0, 恒成立的实数 a 的范围。解析：由于函asin xcos x2 sin( x), x4344 , 4 ，显然函数有最大值2 ，a2 。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2 ）求使不等式 asin xcos x, x4(0,) 恒成立的实数 a 的范围。2解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化， 这样使得 ysin xcos x 的最大值取不到2 ，即 a 取2 也满足条件，所以 a2 。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到 最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧， 所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知 a0, a1, f(x)x2a x ,当x(1,1)时, 有f(x)1 2 恒成立 ，求实数 a 的取值范围。解析：由f (x)x2a x1，得x 221a x ，在同一直角坐标系中做出两2个 函数的 图象 ， 如 果两 个函 数分 别 在x=-1和x=1处 相交 ， 则由211a及(21) 21a 12得到a分 别 等 于2和0.5 ， 并作 出 函 数y2 x 及y1x()的图象，所以，要想使函数2xx 212a x 在区间 x(211,1) 中恒成 立， 只须y2在区 间 x(1,1)对应 的图 象在 yx在区 间2x(1,1)对 应 图 象 的 上 面 即 可 。 当 a1时,只有 a2 才 能 保 证 ， 而0a1时，只有 a1才可以，所以 a2 1 ,1)2(1,2 。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。例 6：若当 p(m,n) 为圆 x2( y1) 21 上任意一点时， 不等式 mnc0 恒成立，则 c 的取值范围是（）a、12c21b、21c21c、 c21d、 c21解析：由 mnc0 ，可以看作是点 p(m,n) 在直线 xyc0 的右侧， 而点 p(m,n) 在圆 x2( y1) 21 上，实质相当于是 x2( y1) 21 在直线的右侧并与它相离或相切。01c0| 01c |1c21 ，故选 d。1212其实在习题中， 我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题， 供同学们练习。练习题： 1、对任意实数x，不等式a sin xb cos xc0(a, b, cr) 恒成立的充要条件是 。ca2b2 x2、设 ylg lg 23x9 x a在(7,1 上有意义，求实数 a 的取值范围 . 5 ,) 。93、当 x(1 ,3)时，| log 3a x |1 恒成立，则实数 a 的范围是 。( 0, 1 3 3,)4、已知不等式：1n11.1n2nn1log(a1) 122对一切大于31 的自然数 n 恒成立，求实数a 的范围。 a(1,15 )a2含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合 起来，其以覆盖知识点多， 综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合、”“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。 本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f (x)ax 2bxc(a0, xr) ,有a01 ） f ( x)0 对 xr恒成立;0a02 ） f ( x)0 对 xr恒成立.0例 1已知函数 ylg x 2(a1)xa 2 的定义域为 r，求实数 a 的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式x2( a1) xa 20 对 xr 恒成立，即有(a1) 24 a 20 解得 a1或a1 。3所以实数 a 的取值范围为 (1,1)(,) 。3若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例 2设f (x)x22 mx2 ，当 x1,) 时， f(x)m 恒成立， 求实数 m 的取值范围。解：设f (x)x22 mx2m ，则当 x1,) 时，f ( x)0 恒成立当4(m1)( m2)0即2m1 时， f ( x)0 显然成立；y当0 时，如图，f ( x)0 恒成立的充要条件为：x0f (1)2m 20解得3m2 。1-ox 1综上可得实数 m 的取值范围为 二、最值法3,1) 。将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） f(x)a 恒成立af (x)min2） f(x)a 恒成立af (x)max例3 已 知f (x)7x 228xa, g( x)2 x34 x 240 x ， 当 x3,3 时，f (x)g(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：设f (x)f (x)g( x)2 x33 x212 xc ，则由题可知f ( x)0 对任意 x3,3 恒成立令 f (x)6 x 26 x120 ，得 x1或x2而 f (1)7 a, f ( 2)20a, f (3)45a, f (3)9a,f (x)max45a0a45 即实数 a 的取值范围为 45,) 。例 4 函数f ( x)x22 x xa , x1,) ，若对任意 x1,) ， f ( x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：若对任意 x1,) ， f(x)0 恒成立，2即对 x1,) ， f ( x)x 22 xa x0 恒成立，考虑到不等式的分母x1,) ，只需 x2 xa0 在 x1,) 时恒成立而得而抛物线g( x)x 22 xa 在 x1,) 的最小值g min ( x)g (1)3a0 得a3注：本题还可将小值。三、分离变量法f ( x)变形为f (x)xa2 ，讨论其单调性从而求出xf ( x) 最若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而 问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。 这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） ） f2） ） f( x)( x)g(a)( a为参数） 恒成立g(a )( a为参数） 恒成立g (a)g (a)f ( x) maxf ( x) max实际上，上题就可利用此法解决。2略 解 ： x2 xa0 在 x1,) 时恒 成 立， 只 要 ax 22 x 在x1,) 时恒成立。 而易求得二次函数h(x)x22 x 在1,) 上的最大值为3 ，所以 a3 。例 5 已知函数 f ( x)取值范围。解： 将问题转化为 a4xx 2ax4xx, x(0,4 时 f ( x)24 xx2对 x(0,4 恒成立。x0 恒成立，求实数 a 的令 g (x)，则 ax4xx 24g (x) min由 g( x)x1可 知xg(x)在 (0,4上 为 减 函 数 ， 故g (x) ming(4)0a0 即a 的取值范围为 (,0) 。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法2处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6 对任意 a范围。1,1，不等式 x(a4) x42a0 恒成立，求 x 的取值分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式题。( x2) ax24 x40 在 a1,1上恒成立的问解： 令f (a)(x2)ax 24 x4， 则原问题转化 为f (a)0 恒 成立（ a1,1 ） 。当 x2 时，可得f (a)0 ，不合题意。当 x2 时，应有f (1)0解之得 x1或x3。故 x 的取值范围为f (1)(,1)0(3,) 。注：一般地，一次函数f (x)kxb(k0) 在, 上恒有f ( x)0 的充要条件为f ()0。f ()0四、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处， 在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道， 函数图象和不等式有着密切的联系：1） ） f ( x)g( x)函数 f(x) 图象恒在函数g( x) 图象上方；2） ） f ( x)g( x)函数 f ( x) 图象恒在函数g ( x)图象下上方。例 7 设f (x)x 24 x,g(x)4 x13a , 若恒有f ( x)g( x) 成立,求实数 a 的取值范围 .分析：在同一直角坐标系中作出f (x)及 g( x)y的图象如图所示，f ( x)的图象是半圆 ( x2) 2y 24( y0)g( x)的图象是平行的直线系4 x3 y-233a0 。要使 f( x)g(x) 恒成立，-4-4o x则圆心 (2,0) 到直线 4 x3y33a0 的距离满足d833a25解得 a5或a5 （舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样， 但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变” ， 当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。含参不等式恒成立问题中，求参数取值范围一般方法恒成立问题是数学中常见问题， 也是历年高考的一个热点。 大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围， 求另一个变量的取值范围的形式出现。 下面介绍几种常用的处理方法。一、 分离参数在给出的不等式中， 如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx 恒成立，只须求出fx max，则afxmax ； 若 afx恒成立，只须求出fx min ，则afx min ，转化为函数求最值。例 1、已知函数fxlgxa2，若对任意 x2,x恒有 fx0 ，试确定 a 的取值范围。解：根据题意得：xa21 在 x2,x上恒成立，2即： ax3x 在 x2,上恒成立，22设 fxx3x ，则fxx3924当 x2 时，fx max2所以 a2在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若fagx 恒成立，只须求出 gx max ，则f agxmax ，然后解不等式求出参数a 的取值范围； 若 fagx恒成立，只须求出g x min ，则fagxmin ，然后解不等式求出参数a 的取值范围，问题还是转化为函数求最值。例 2、已知 x围。,1 时，不等式12xaa24x0 恒成立，求 a 的取值范x解：令 2t ，x,1t0,2所以原不等式可化为：a 2at1 ，2t要使上式在 t可。0,2上恒成立，只须求出ftt1 在tt 20,2上的最小值即ftt2211111111 ,t 2ttt24t232313ftminf24aa42a2二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。例 3、若 x2,2时，不等式 x2ax3a 恒成立，求 a 的取值范围。解：设负。fxx2ax3a，则问题转化为当x2,2时， fx 的最小值非（1） ） 当a22 即：a4 时， fx minf273a0a7 又a4 所3以a 不存在；（2） ） 当2a2即 ：4a4时 ，fxf2a3aa02min246a2又4a44a2（3） ） 当aa2即 ： a247a44 时 ，fx minf27a0a7 又综上所得：7a2三、确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量 x 看成是主元（未知数），而把另一个变量 a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例 4、若不等式 2x1围。m x21 对满足 m2 的所有 m 都成立， 求 x 的取值范解：设fmmx212x1 ，对满足 m2 的 m ， fm0 恒成立，f202x212 x101713f202x212 x10解得：2x2四、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中， 若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m, nfa, ga，则 fam 且 gan ，不等式的解即为实数a 的取值范围。例 5、当 x1 ,33时， log a x1 恒成立，求实数 a 的取值范围。解：1log a x1a3（1） ） 当 a1 时 ， 1xa a， 则 问 题 转 化为1 ,331 , a11aa3a3（2） ） 当0a1时，ax1a，则问题转化为1 ,3a, 1a130a13综上所得： 0aa133a1 或 a33五、数形结合数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数， 且正确作出两个函数的图象， 然后通过观察两图象（特别是交点时） 的位置关系，列出关于参数的不等式。例 6、若不等式3x2log a x0 在 x0, 13内恒成立，求实数 a 的取值范围。解：由题意知：3x2log a x 在 x0, 13内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数y3 x2 和 ylog a x观察两函数图象，当x0, 1时，3若 a1 函数 ylog a x 的图象显然在函数 y成立；3 x2 图象的下方， 所以不当 0a1 时，由图可知， ylog ax 的图象必须过点1 , 133或在这个点的上方，11则， log a33a11a12727综上得： 1a127上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中， 要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。含参数不等式恒成立问题的解题策略（专题探究） 一、教学目标：理解含参不等式恒成立问题特征；能充分利用化归、 数形结合、函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立问题；培养学生分析解决综合问题的能力。二、教学方法：启发、探究三、教学过程： 通过含参数不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略， 培养学生利用化归、 数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。例题 1：已知不等式 ( x1)m2x1 对 x0,3恒成立， 求实数 m 的取值范围。变式：已知不等式 ( x1) m2x1 对m0,3恒成立，求实数 x 的取值范围。例题 2：已知不等式x22ax20 对 xr 恒成立，求实数 a 的取值范围。变式 1：已知不等式x22ax20 对 x1,2恒成立，求实数 a 的取值范围。变式 2：已知不等式x22ax20 对 x1,2恒成立， 求实数 a 的取值范围。例题 3：当 x1,22时，不等式x1logax 恒成立，求实数 a 的取值范围。练习 1：已知函数数a 的取值范围。f ( x)1 x2a ln( x 22) 在区间1,上为减函数，求实练习 2：对于满足 |p |2 的所有实数 p ，求使不等式 x2px12 px 恒成立的 x 的取值范围。思考：1、若不等式 2 x1范围。m( x21) 对满足 | m |2 的所有 m 都成立，求实数x 的取值2、设 0a5 ，若满足不等式 | xa |4b 的一切实数 x ，能使不等式| xa 2 |12恒成立，求正实数 b 的取值范围。常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容， 并且与函数的最值、 方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求 解策略，以抛砖引玉。1 变量转换策略例 1已知对于任意的a-1,1 ，函数 f(x)=ax 2+(2a-4) x+3- a0恒成立， 求 x 的取值范围 .解析 本题按常规思路是分a=0 时 f(x)是一次函数， a0 时是二次函数两g(1)00，得313x313g(1)种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量， 把 a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量， x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=( x2 +2x-1) a-4x+ 3在a-1,1 时， g(a)0 恒成立，则.点评对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。2 零点分布策略例 2已知f ( x)x 2ax3a ，若 x2,2, f (x)0 恒成立，求 a 的取值范围 .解析本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即0 或0a22 或f (2)00a22，f (2)0f ( 2)0f ( 2)0即 a 的取值范围为 -7 ，2.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题 ,可以考虑函数的零点分布情况 ,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了.3函数最值策略例 3已知f ( x)x 2ax3 a ，若 x 2,2,f (x)2 恒成立，求a 的取值范围.解析本题可以化归为求函数f(x) 在闭区间上的最值问题,只要对于任意x 2,2, f ( x) min2.若xa2 2,2, f ( x)2恒成立x2,2,f (x)min22f (x)minf (2)73a22a2或2aa22或2af (x)f (2)7a2，即 a的取值范围为f ( x) minf ()3a224min5, 222 .点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题, 可以求函数最值的方法, 只要利用f (x)m 恒成立f (x)m i nm ； f ( x)m恒成立f (x)m a xm . 本题也可以用零点分布策略求解.4变量分离策略例 4已知函数f ( x)| x24x5 | ，若在区间 1,5 上， ykx3k 的图象位于函数 f(x)的上方，求 k 的取值范围 .解 析本 题 等 价 于 一 个 不 等 式 恒 成 立 问 题 , 即 对 于x1,5, kx3kx 24 x5 恒成立,式子中有两个变量 ,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于x1,5, kx3kx 24 xx 24 x55 恒成立kx24x5x3对 于x1,5恒 成 立 , 令y, xx31,5, 设 x3t,t 2,8, 则y( t16 )t10, t 2,8,当t4 ,即 x=1 时 yma2x ,k 的取值范围是k2.变式若本题中将 ykx3k 改为 yk( x3) 2 ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解 .由题意得，对于x1,5, k( x3) 2x24x5 恒成立kx24x25 对于( x3)x 1,5恒成立,令yx24x5, x( x3) 21,5,设x3t, t 2,8,则y16t 2101t( 45 ) 2t49 , t162,8 ，当 45 ,即xt41 时 , y max59 ,k 的取值范围是 k 9 .1616点评本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问 题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换