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文档简介
2 1数学归纳法及其应用举例 5 例题选讲 分析 画出n 2 3 4 5时的图形示意图 观察交点的变化规律 例6平面内有n n 1 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n 等于n n 1 2 2 3 4 5 f 2 1 f 3 3 1 2 f 2 2 f 4 6 3 3 f 3 3 f 5 10 6 4 f 4 4 从k条到k 1条交点增加了k点 应证f k 1 f k k 几何问题 例题选讲 几何问题 例6平面内有n n 1 条直线 其中任何两条不平行 任何三条不过同一点 证明交点的个数f n 等于n n 1 2 证明 1 当n 2时两条直线的交点只有一个 又f 2 2 2 1 2 1 因此当n 2时 命题成立 2 假设n k k 1 时命题成立 就是说 平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f k k k 1 2 现在来考虑平面内有k 1条直线的情况 任取其中的一条直线 记为l 由题设 l和其它k条直线必有k个不同交点 又根据假设 其它k条直线的交点的个数f k 等于k k 1 2 根据题设 这k k 1 2个和这k个点是不同的交点 从而平面内满足题设的k 1条直线的交点的个数是 k k 1 2 k k k 1 2 2 k 1 k 1 1 2 这就是说 当n k 1时 k 1条直线的交点的个数 f k 1 k 1 k 1 1 2 根据 1 2 可知命题对任何大于1的正整数都成立 变形 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条都不过同一点 线段的条为 射线的条数为 求 的表达式 变形2 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条都不过同一点 这n条直线将平面分成的平面区域的块数为个g n g n 变形 平面内有n个圆 任何两个圆都相交于两点 任何三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成f n 个部分 求f n 变形 平面内有n个圆 任何两个圆都相交于两点 任何三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆将平面分成个部分 证明 当n 1时 一个圆把平面分成二部分 且因此 n 1时命题成立 假设n k时 命题成立 即k个圆把平面分成 如果增加一个满足的任一个圆 则这个圆必与前k个圆交于2k个点 这2k个点把这个圆分成2k段弧 每段弧
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