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文档简介

普通高中课程标准实验教科书必修5 3 4基本不等式 3 4基本不等式 2002年在北京举行的第24届国际数学家大会会标 思考 1 会标中含有怎样的几何图形 2 能否在这个图案中找出一些不等关系 探究1 问2 rt aeb rt bfc rt cgd rt dha是全等三角形 其面积之和是s 问1 在正方形abcd中 设cg a dg b 则正方形的面积为s 问3 s与s 有什么样的关系 从图形中易得 s s 即 探究2 问题1 它们有相等的情况吗 何时相等 a b c d e fgh a b 图片说明 当a b时 即小正方形efgh缩为一个点 这时有 a b 形的角度 数的角度 当a b时 a2 b2 2ab a b 2 0 a b c d e fgh a b 结论 一般地 对于任意实数a b 我们有当且仅当a b时 等号成立 此不等式称为重要不等式 问题2 当a b为任意实数时 上式还成立吗 如果也可写成 a 0 b 0 探究3 概念 1 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 2 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 a b o a b p q 基本不等式的几何意义 如图 ab是圆o的直径 q是ab上任一点 aq a bq b 过点q作pq垂直ab 则pq 半径ao 问题 请比较半径ao与半弦长pq的关系 几何意义 圆的半径不小于圆的半弦长 探究4 例1 1 已知并指出等号成立的条件 2 已知与2的大小关系 并说明理由 3 已知能得到什么结论 请说明理由 应用一 利用基本不等式判断代数式的大小关系 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 结论1 两个正变量积为定值 则和有最小值 当且仅当两值相等时取最值 2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 18 2 9 得xy81 当且仅当x y时 等号成立 此时 x y 9 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园面积最大 最大面积是81m2 例3 1 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短篱笆是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 例4 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池 其容积为4800立方米 深为3米 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 应用基本不等式求最值的条件 a与b为正实数 若等号成立 a与b必须能够相等 一正 二定 三相等 a b与ab有一个为定值 1 两个不等式 1 2 当且仅当a b时 等号成立 注意 1 两公式条件 前者要求a b为实数 后者要求a b为正数 2
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