容斥原理习题加答案VIP

1. 现有 50 名学生都做物理、 化学实验， 如果物理实验做正确的有40 人，化学实验做正确的有31 人，两种实验都错的有4 人，则两种实验都做对的有()a、27 人b、25 人c、19 人d、10 人【答案】 b【解析】直接代入公式为：50=31+40+4 ab得 ab=25 ，所以答案为b。2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中25 是白色的，75 是蓝色的。如果这批衬衫共有100 件，其中大号白色衬衫有10 件，小号蓝色衬衫有多少件？（）a、15 b、25 c、35 d、40【答案】 c【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为a b，本题设小号和蓝色分别为两个事件a 和 b，小号占50% ，蓝色占 75% ，直接代入公式为： 100=50+75+10 ab，得： ab=35 。3. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63 人，准备参加英语六级考试的有89 人，准备参加计算机考试的有 47 人，三种考试都准备参加的有24 人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15 人。问接受调查的学生共有多少人？ （）a120 b144 c177 d192【答案】 a【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数63+89+47 (x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199 （ x+z+y ）+24+24+24+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为120.4. 对某单位的100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有多少人（）a.22 人b.28 人c.30 人d.36 人【答案】 a【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数100 58+38+52 18+16+ （12+x）+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到： x14。52 x+12+4+y 14+12+4+y ，得到 y 22 人。5. 某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有25 人;语文得 90 分以上的有21 人;两科中至少有一科在90 分以上的有38 人。问两科都在90 分以上的有多少人?解：设 a= 数学成绩90 分以上的学生 b= 语文成绩90 分以上的学生那么，集合ab 表示两科中至少有一科在90 分以上的学生，由题意知，a =25 ，b =21 ，ab=38现要求两科均在90 分以上的学生人数，即求 a b ，由容斥原理得a b =a+b-ab=25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合a，b，并且会表示a b，ab ，再利用容斥原理求解。6. 某班同学中有39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?解：设 a= 打篮球的同学;b= 跑步的同学 则 ab= 既打篮球又跑步的同学ab= 参加打篮球或跑步的同学应用容斥原理ab =a+b-ab=39+37-25=51(人)7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人 ， 参加语文小组的有27 人，参加外语小组的有18 人;同时参加数学、 语文两个小组的有4 人 ， 同时参加数学、外语小组的有7 人，同时参加语文、外语小组的有5 人;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?解 1：设 a= 数学小组的同学，b= 语文小组的同学，c= 外语小组的同学，ab= 数学、语文小组的同学，a c= 参加数学、外语小组的同学，b c= 参加语文、外语小组的同学 ， a bc= 三个小组都参加的同学由题意知：a=23 ，b =27 ，c=18a b =4 ，ac =7 ，bc =5 ，abc=2根据容斥原理二得：a bc=a+b+c -ab -a c|- bc|+|a bc =23+27+18-(4+5+7)+2=54( 人)山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法解 2 ： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设 a、b 、c 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域(即 abc)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2 。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2( 人)。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5( 人)。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为5-2=3( 人)。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为23-2-2-5=14(人)。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为;14+20+8+2+5+3+2=54(人)点评：解法2 简单直观，不易出错。由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。8. 某车间有工人100 人，其中有5 个人只能干电工工作，有77 人能干车工工作，86人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?解：工人总数100 ，只能干电工工作的人数是5 人，除去只能干电工工作的人，这个车间还有95人。利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163 ，然后找出这一公共部分，即163-95=689. 某次语文竞赛共有五道题 (满分不是 100 分)，丁一只做对了 (1) 、(2) 、(3) 三题得了 16 分; 于山只做对了 (2) 、(3) 、(4) 三题，得了 25 分;王水只做对了 (3) 、(4) 、(5) 三题，得了 28 分，张灿只做对了 (1) 、(2) 、 (5) 三题，得了 21 分，李明五个题都对了他得了多少分 ?解：由题意得： 前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰好是试题总分的三倍。五人得分总和是16+25+30+28+21=120。因此，五道题满分总和是120 3=40 。所以李明得40 分。10. 某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有40 名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教法语， 有 4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名?解：本题只