微分中值定理与导数的应用.ppt

第四节微分中值定理与导数的应用 二 洛必达法则 三 函数的单调性与极值 一 微分中值定理 四 函数的最值 五 曲线的凹凸性与拐点 1 罗尔 Rolle 定理 一 微分中值定理 2 拉格朗日中值定理 3 柯西 Cauchy 中值定理 机动目录上页下页返回结束 复习 闭区间上连续函数的性质 在 上达到最大值与最小值 上可取最大与最小值之间的任何值 4 当 时 使 必存在 上有界 在 在 机动目录上页下页返回结束 P49 费马 fermat 引理 且 存在 证 设 则 证毕 机动目录上页下页返回结束 1 罗尔 Rolle 定理 满足 1 在区间 a b 上连续 2 在区间 a b 内可导 3 f a f b 使 证 故在 a b 上取得最大值 M和最小值m 若M m 则 因此 机动目录上页下页返回结束 若M m 则M和m中至少有一个与端点值不等 不妨设 则至少存在一点 使 注意 若定理条件不全具备 结论不一定成立 例如 故由费马引理得 不连续 不可导 端点值不等 机动目录上页下页返回结束 由于 存在 例1 设函数 试验证罗尔定理对f x 在区间 1 1 上的正确性 解 由于f x 为多项式函数 故f x 在区间 1 1 上连续 且 所以 f x 在区间 1 1 上满足罗尔定理条件 至少存在一点 故罗尔定理成立 在区间 1 1 内可导 所以 机动目录上页下页返回结束 例2 证明方程 有且仅有一个小于1的 正实根 证 1 存在性 则 在 0 1 连续 且 由介值定理知存在 使 即方程有小于1的正根 2 唯一性 假设另有 为端点的区间满足罗尔定理条件 至少存在一点 但 矛盾 故假设不真 设 机动目录上页下页返回结束 2 拉格朗日中值定理 1 在区间 a b 上连续 满足 2 在区间 a b 内可导 至少存在一点 使 思路 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 证 问题转化为证 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 证毕 机动目录上页下页返回结束 拉格朗日中值定理的有限增量形式 推论 若函数 在区间I上满足 则 在I上必为常数 证 在I上任取两点 格朗日中值公式 得 由的任意性知 在I上为常数 令 则 机动目录上页下页返回结束 例3 证明等式 证 设 由推论可知 常数 令x 0 得 又 故所证等式在定义域上成立 经验 欲证 时 只需证在I上 自证 机动目录上页下页返回结束 例4 证明不等式 证 设 满足拉格朗日中值定理条件 即 因为 于是 因此应有 机动目录上页下页返回结束 故 则 连续且可导 3 柯西 Cauchy 中值定理 分析 及 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 在开区间 a b 内 至少存在一点 使 满足 要证 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 微分中值定理的条件 结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 微分中值定理的应用 1 证明恒等式 2 证明不等式 3 证明有关中值问题的结论 关键 利用逆向思维设辅助函数 费马引理 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 函数 在区间 1 2 上满足拉格朗日定理 条件 则中值 2 设 有 个根 它们分别在区间 上 方程 机动目录上页下页返回结束 费马 1601 1665 法国数学家 他是一位律师 数学 只是他的业余爱好 他兴趣广泛 博 览群书并善于思考 在数学上有许多 重大贡献 他特别爱好数论 他提出 的费马大定理 至今尚未得到普遍的证明 他还是微积分学的先驱 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的 机动目录上页下页返回结束 拉格朗日 1736 1813 法国数学家 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 机动目录上页下页返回结束 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要集中 在微积分学 柯 西全集 共有27卷 其中最重要的是为巴黎综合学 校编写的 分析教程 无穷小分析概论 微积 分在几何上的应用 等 有思想有创建 响广泛而深远 对数学的影 他是经典分析的奠基人之一 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展 复变函数和微分方程方面 一生发表论文800余篇 著书7本 机动目录上页下页返回结束 3 其他未定式 2 型未定式 1 型未定式 二 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 第三章 第四节 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 或型 本段研究 洛必达法则 洛必达目录上页下页返回结束 1 存在 或为 定理1 型未定式 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 在x a之间 证 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以x a为端点的区间上满足柯 故 定理条件 西定理条件 机动目录上页下页返回结束 存在 或为 推论1 定理1中 换为 之一 推论2 若 理1条件 则 条件2 作相应的修改 定理1仍然成立 洛必达法则 定理1目录上页下页返回结束 例1 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 原式 例3 求 解 原式 注意 不是未定式不能用洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 例4 求 解 故原式 机动目录上页下页返回结束 例5 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 巧用等价无穷小 例6 求 解 注意到 原式 机动目录上页下页返回结束 2 型未定式 存在 或为 定理2 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 说明 定理中 可换为 例7 求 解 原式 例8 求 解 1 n为正整数的情形 原式 机动目录上页下页返回结束 例8 求 2 n不为正整数的情形 从而 由 1 用夹逼准则 存在正整数k 使当x 1时 机动目录上页下页返回结束 说明 例如 而 用洛必达法则 1 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 机动目录上页下页返回结束 再如 2 若 例如 极限不存在 机动目录上页下页返回结束 3 其他未定式 解决方法 通分 取倒数 取对数 例7 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 解 原式 例9 求 机动目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 解 原式 例10 求 机动目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 解 原式 例11 求 机动目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 例12 求 解 例5目录上页下页返回结束 通分 取倒数 取对数 故 原式 例13 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 而 机动目录上页下页返回结束 故 原式 内容小结 洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 是未定式极限 如果 不存在 是否 的极限也不存在 举例说明 极限 说明目录上页下页返回结束 原式 分析 分析 3 原式 机动目录上页下页返回结束 洛必达 1661 1704 法国数学家 他著有 无穷小分析 1696 并在该书中提出了求未定式极 限的方法 后人将其命名为 洛必达法 的摆线难题 以后又解出了伯努利提出的 最速降 线 问题 在他去世后的1720年出版了他的关于圆 锥曲线的书 则 他在15岁时就解决了帕斯卡提出 机动目录上页下页返回结束 求下列极限 解 备用题 机动目录上页下页返回结束 令 则 原式 解 用洛必达法则 继续用洛必达法则 机动目录上页下页返回结束 解 原式 第三节目录上页下页返回结束 三 函数的单调性与极值 1 函数的单调性 机动目录上页下页返回结束 2 函数的极值 第三章 第四节 1 函数单调性的判定法 若 定理1 设函数 则在I内单调递增 递减 证 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明在I内单调递增 在开区间I内可导 机动目录上页下页返回结束 证毕 说明 且 设函数 则在 a b 上单调递增 递减 在 a b 内可导 机动目录上页下页返回结束 1 如果函数在某点x c处导数为零 称为驻点 而在其余各点处导数均为正 负 则函数的单调性不改变 2 如果区间I换成其它各种区间 只要函数在相应区间上是连续的 那么结论也成立 在 a b 上连续 等号仅在有限多个点处成立 判定法 例1 判断函数 的单调性 解 机动目录上页下页返回结束 且等号仅当x 2时成立 故函数在 0 2 上单调增加 例2 判断函数 的单调性 解 故函数在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 故当时 当时 说明 单调区间的分界点除驻点外 也可以是导数不存在的点 例如 机动目录上页下页返回结束 单调性发生改变的点称为单调区间的分界点 故函数在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 但 3 确定函数单调区间的步骤 求导数y 并写成积的形式 求出驻点和不可导点 以驻点和不可导点为分界点列表确定单调区间 下结论 机动目录上页下页返回结束 例3 确定函数 的单调区间 解 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动目录上页下页返回结束 无不可导点 例4 确定函数 的单调区间 解 故 的单调增区间为 的单调减区间为 机动目录上页下页返回结束 x 0为不可导点 无驻点 例5 证明 令 则 从而 即 证 练习 机动目录上页下页返回结束 2 函数的极值及其求法 定义 使对任一x U 有 1 则称为的极大 值 点 称为函数的极大值 2 称为函数的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点 机动目录上页下页返回结束 则称为的极小 值 点 P79 空心邻域U 注意 为极大点 为极小点 不是极值点 2 对常见函数 极值可能出现在导数为0或导数不存在的点 1 函数的极值是函数的局部性质 例如 例3 为极大点 是极大值 是极小值 为极小点 例3目录上页下页返回结束 定理1 极值的必要条件 机动目录上页下页返回结束 定理2 极值第一判别法 且在空心邻域 内有导数 机动目录上页下页返回结束 确定函数极值点与极值的步骤 求导数y 并写成积的形式 求出可能极值点 y 等于零或不存在的点 列表判别 看左右两侧的y 符号是否改变 求出极值 例6 求函数 的极值 解 令 得 机动目录上页下页返回结束 无不可导点 2 1 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 例7 求函数 的极值 解 令 得 机动目录上页下页返回结束 无不可导点 21 6 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 例8 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求可能极值点 令 得 令 得 3 列表判别 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 机动目录上页下页返回结束 定理3 极值第二判别法 二阶导数 且 则在点取极大值 则在点取极小值 证 1 存在 由第一判别法知 2 类似可证 机动目录上页下页返回结束 例9 求函数 的极值 解 令 得 机动目录上页下页返回结束 无不可导点 是极大点 其极大值为 是极小点 其极小值为 例10 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求驻点 令 得驻点 3 判别 故为极小值 机动目录上页下页返回结束 1 0 1 0 1 1 无法判别 但 例11 求函数 的极值 解 1 求导数 2 求可能极值点 令 得 3 列表判别 机动目录上页下页返回结束 1 2 是极大点 其极大值为 本题用方法2也无法判别 四 最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 求函数最值的方法 1 求在内的可能极值点 2 求出它们和端点的函数值 机动目录上页下页返回结束 3 比较上述值的大小 求出最大值M和最小值m 特别 当在内只有一个可能极值点时 当在上单调时 最值必在端点处达到 若在此点取极大值 则也是最大值 小 对应用问题 有时可根据实际意义判别求出的 可能极值点是否为最大值点或最小值点 小 机动目录上页下页返回结束 例1 求函数 在闭区间 3 4 上的最大值和最小值 解 于是 故函数在x 1 取最小值7 机动目录上页下页返回结束 函数在x 4 取最大值142 求最值时无需列表判别 k为某一常数 例2 铁路上AB段的距离为100km 工厂C距A处20 AC AB 要在AB线上选定一点D向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为3 5 为使货 D点应如何选取 解 设 则 令 得 故必在其 即AD 15km时运费最省 总运费 物从B运到工厂C的运费最省 问 Km 公路 机动目录上页下页返回结束 此为唯一驻点 而总费用y必有最小值 唯一驻点x 15处取得 一边利用原有的墙 其他三边砌新墙 例3 某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场 解 设堆料场宽为x 墙壁总长为L 故 得 令 各为多少时 才可使砌墙所用的材料最省 机动目录上页下页返回结束 问堆料场的长和宽 512m2 则 故必在其 即宽为16m 长为32m时 此为唯一驻点 而总长L必有最小值 唯一驻点x 16处取得 x 16 砌墙所用材料最省 同样的小方块 然后把四边折起来 作成一个无盖的方盒 为了使这个方盒的容积V最大 问应该如何截取 例4 将一块边长为a的正方形铁皮 解 设截去小方块的边长为x 则 令 得 而最大容积必存在 故必在其唯一驻点处取得最值 因此当截去小方块的边长x a 6时 容积V最大 机动目录上页下页返回结束 从每个角截去 a 2x 于是 此为唯一驻点 清楚 视角 最大 观察者的眼睛1 8m 例5 一张1 4m高的图片挂在墙上 它的底边高于 解 设观察者与墙的距离为xm 则 令 得驻点 而观察者最佳站位必存在 故必在唯一驻点处最佳 因此观察者站在距离墙2 4m处看图最清楚 问观察者在距墙多远处看图才最 机动目录上页下页返回结束 它是唯一的 例6 把一根直径为2r的半圆木锯成矩形梁 问矩形 截面的长和宽应如何选择才能使梁的截面积最大 解 设矩形梁的长为2x 宽为b 截面积为S 令 得 这是唯一驻点 所求最值存在 必在其唯一驻点处取得 即当长为 宽为 机动目录上页下页返回结束 则 由实际意义可知 x 时 S最大 内容小结 1 连续函数的极值 1 极值可疑点 使导数为0或不存在的点 2 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 3 第二充分条件 为极大值 为极小值 定理3目录上页下页返回结束 最值点应在极值点和边界点上找 应用题可根据问题的实际意义判别 2 连续函数的最值 机动目录上页下页返回结束 设 是方程 的一个解 若 且 A 取得极大值 B 取得极小值 C 在某邻域内单调增加 D 在某邻域内单调减少 提示 A 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 试问 为何值时 还是极小 解 由题意应有 又 取得极大值为 备用题1 求出该极值 并指出它是极大 机动目录上页下页返回结束 试求 解 2 机动目录上页下页返回结束 故所求最大值为 定义 设函数 在区间I上连续 1 若恒有 则称 图形是凹的 2 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点 图形是凸的 五 曲线的凹凸性与拐点 机动目录上页下页返回结束 曲线弧总位于任一切线上方 曲线弧总位于任一切线下方 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 证 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 1 成立 2 机动目录上页下页返回结束 设函数 在区间I上有二阶导数 证毕 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形是凸的 机动目录上页下页返回结束 设函数 在区间I上有二阶导数 例6 判断曲线 的凹凸性 解 故曲线 在定义域内 是向上凸的 定理2 凹凸判定法 1 在I内 则在I内图形是凹的 2 在I内 则在I内图形