平面直角坐标系知识点总结68258

平面直角坐标系平面直角坐标系的有关概念夯实基础一有序数对在日常生活中， 可以用有序数对来描述物体的位置，这样可以用含有两个数的组合来表 示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a 与 b 组精品资料成的数对，叫做有序数对，记作a , b 。温馨提示a , b 与b , a顺序不同，含义就不同。例如：用3 , 5表示第 3 列的第 5 位同学，那么 5 , 3 就表示第5 列的第 3 位同学。例 1：（ 1）在一层的电影院内如何找到电影票上所指的位置？（2）在电影票上，如果把“5 排 8 号”简记为（5,8 ），那么“4 排 9 号”如何表示？（8,3 ）表示什么含义？二平面直角坐标系相关概念具体内容在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建定义立了平面直角坐标系平面直角坐标系水平的数轴叫做x 轴或横轴， 取向右为正方向；垂直的数两轴轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向原点两轴的交点 o 为平面直角坐标系的原点坐标平面坐标系所在的平面叫做坐标平面三象限x 轴和 y 轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，如图。y第二象限第一象限ox第三象限第四象限温馨提示如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义，一般在表示横轴、 纵轴的字母后附上单位。例 2：设 ma,b为平面直角坐标系中的点。（ 1）当 a0,b0 时，点 m 位于第几象限？（ 2）当 ab0 时，点 m 位于第几象限？四点的坐标对于坐标平面内的任意一点a ，过点 a 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在x 轴、 y 轴上对应的数a 、 b 分别叫做点a 的横坐标和纵坐标，有序数对a, b 叫做点 a 的坐标，记作a a,b ，如图。yboax1. 已知坐标平面内的点，确定点的坐标先由已知点p 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，设垂足分别为a 、 b ，再求出垂足a 在 x 轴上的坐标 a 与垂足 b 在 y 轴上的坐标b ，最后按顺序写成a, b 即可。2. 已知点的坐标确定点的位置若点 p 的坐标是a,b，先在 x 轴上找到坐标为a 的点 a，在 y 轴上找到坐标为b 的点b ；再分别过点a 、点 b 作 x 轴、 y 轴的垂线，两垂线的交点就是所要确定的点p 。例 3：如图所示，在平面直角坐标系内有两点a 、 b 。y42o24x（1） ）分别写出它们的坐标；（2） ）在平面内找出一点c ，使它的坐标为3,5 。掌握方法一有序数对的应用方法表示物体的位置需要用两个数，这两个数顺序不同，表示的位置也不同。用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义。例 1：如图是中国象棋一次对局时的部分示意图，若“帅”所在的位置用有序数对（ 5,1）表示，请你用有序数对表示其他棋子的位置。二坐标平面中点的位置的确定确定点在坐标平面中的位置，关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标、纵坐北标是大于0，等于 0，还是小于0 ，就可以确定点在坐标平面中的位置。例 2：如图小明从点 o 出发，先向西走40 米，再向ab西南走 30 米到达点 m ，如果点 m 的位置用40,30c表示，那么10,20表示的是（）o东a.点 ab. 点 bmdc.点 cd. 点 d三 用坐标表示地理位置的方法南用坐标表示地理位置时， 一是要选择适当的位置为坐标原点， 要以能简洁地确定平面内的点的坐标为原则； 二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向， 这样可以使东南西北方向与地理位置方向一致；三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度。例 3：根据以下条件画一幅示意图，指出学校和小刚家、 小强家、小敏家的位置。小刚家：出校门向东走1500 米，再向北走 2000 米。小强家：出校门向西走 2000 米，再向北走 3500 米，最后再向东走 500 米。小敏家：出校门向南走1000 米，再向东走 3000 米，最后向南走750 米。平面直角坐标系点的坐标的有关性质夯实基础一 各象限内点的坐标的符号特征1. 点 px, y在第一象限x 0,yy 0.精品资料2. 点 p3. 点 px, yx, y在第二象限在第三象限x0,y0.x0,oxy0.,精品资料4. 点 px, y在第一象限x 0,y 0.温馨提示四个象限之间均没有公共点。例 1：若点 pm, n在第三象限，则点 qm,n在（）a.第一象限b. 第二象限c.第三象限d. 第四象限二坐标轴上点的坐标特征 坐标轴上点的坐标特征：1. 点 px, y在 x 轴上x为任意实数 ,y0.2. 点 px, y在 y 轴上x0,x0,y0.y为任意实数 .3. 点 px, y是坐标原点温馨提示原点既是x 轴上的点，又是y 轴上的点。点的横坐标或纵坐标为0 ，说明点在y 轴或 x 轴上。例 2：指出下列各点所在象限或所在坐标轴：a5,0 ， b2,1， c32 , 12， d 0,0， e 0,3 ， f23,32 。三象限角的平分线上的点的坐标特征1. 第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等。2. 第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。温馨提示原点既是x 轴上的点，又是y 轴上的点。点的横坐标或纵坐标为0 ，说明点在y 轴或 x 轴上。例 3：已知点p 2m5,m1 ，当m 为何值时：（1） ）点 p 在第二、四象限的角平分线上？（2） ）点 p 在第一、三象限的角平分线上？四与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1. 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标都相等。2. 平行于 y 轴的直线上的点的横坐标都相等。温馨提示若 ab x 轴，则a x1 , y1，b x2 , y2的纵坐标相等， 即y1y2 ； 若a x1 , y1，b x2 , y2，且 x1x2 ，y1y20 ，则 ab x 轴。若 cd y 轴，则c m1 , n1， d m2 , n2的横坐标相等，即m1m2 ；若c m1, n1，d m2 , n 2， 且 m1m20 ， n1n 2 ，则 cd y 轴。例 4：已知平面直角坐标系内两点m5, a ， nb,2。（1） ）若直线 mn x 轴，则 a（2） ）若直线 mn y 轴，则 a， b， b；。五点到坐标轴的距离点 p 的坐标为x, y，那么点 p 到 x 轴的距离为这点纵坐标的绝对值，即 y 。点 p 到 y轴的距离为这点横坐标的绝对值，即x 。温馨提示已知点的坐标可以求出点到x 轴、 y 轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值。由点到 x 轴、 y 轴的距离可以求出点的坐标，但要注意讨论。点 p x, y 到原点的距离为x2y 2。例 5：已知 p 点到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 1，求 p 点的坐标。六平面直角坐标系内的图形变换1. 用坐标表示对称（1 ）点 p 与点 p1 关于 x 轴（横轴）对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2 ）点 p 与点 p2 关于 y 轴（纵轴）对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3 ）点 p 与点 p3 关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数。简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变” 。温馨提示点 p a,b关于第一、 三象限角平分线对称的点的坐标为b, a ；关于第二、 四象限角平分线对称的点的坐标为b,a 。在平面直角坐标系中，作已知图形关于x 轴或 y 轴对称的图像， 只要先求出已知图形中的一些特殊点 （如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形。例 6：已知在平面直角坐标系中，a 2mn,2 、 b 1, nm 。（1） ）当 m 、 n 为何值时， a 、 b 关于 y 轴对称？（2） ）当 m 、 n 为何值时， a 、 b 关于 x 轴对称？（3） ）当 m 、 n 为何值时， a 、 b 关于原点对称？2. 用坐标表示平移（1） ）当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数a ，纵坐标不变时，图形会水平向右或向左平移a 个单位；在平面直角坐标系中，将点x, y向右（或左） 平移 aa0个单位长度，可以得到对应点xa, y （或xa, y）；（2） ）当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数b ，横坐标不变时，图形会向上或向下平移b 个单位；在平面直角坐标系中，将点x, y向上（或向下）平移bb0个单位长度，可以得到对应点x, yb （或x, yb ） 。温馨提示图形的平移是指坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动。在平移变换下，图形的形状及大小不变，变的仅仅是图形的位置。y例 7：如图，已知 a1,0 ， b 1,1 ，把线段 ab 平移，使点 b 移动到点d 3,4处，这时点 a 移动到点 c 处。（1） ）画出平移后的线段cd ，并写出点c 的坐标；b（2） ）如果平移时只能左右或者上下移动，叙述线段abaox是怎样移到 cd 的。掌握方法一利用点坐标的符号特征解题的方法各象限的坐标符号：第一象限内点的横、纵坐标皆为正数，即,；第二象限内点的 横坐标为负数，纵坐标为正数，即,；第三象限内点的横、纵坐标皆为负数，即,； 第四象限内点的横坐标为正数，纵坐标为负数，即,。例 1：在平面直角坐标系中，若点pm3, m1 在第二象限，则 m 的取值范围为（）a. 1m3b. m3c. m1d. m1二点到坐标轴的距离的应用方法点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面： 到 x 轴的距离与纵坐标有关，到y 轴的距离与横坐标有关。距离都是非负数，而坐标可以是负数。例 2：已知点p1 a1,5和 p22, b1 到x 轴的距离相等，且p1 p2 y 轴，则 ab 的值为（）a.0b.-1c.1d.2三利用图形的平移确定变化的坐标的方法将一个图形各个点的横坐标都加上（或减去） 一个正数 a ，再把纵坐标都加上（或减去） 一个正数 b ，相应的新图形就是把原图形先向右（或向左） 平移 a 个单位， 再向上 （或向下）平移 b 个单位。例 3：如图，a, b 的坐标分别为2,0， 0,1，若将线段 ab 平移y至 a1 b1 ，则ab 的值为（）a.2b.3c.4d.5b 0,1ob1 a,2a2,0a1 3, bx四