4、2012年北京各区二模代数几何综合题(教师版).doc

东城25如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标. 西城区25在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线，点为轴上的一个动点，过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A，点B. 直接写出A，B两点的坐标（用含的代数式表示）；设线段AB的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数（，为整数且），对一切实数恒有，求，的值. 25解：(1)，. 2分图10(2) =AB=. =.3分 当时，取得最小值. 4分当取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OBPM且OB=PM. (如图10) 5分 (3) 对一切实数恒有 ， 对一切实数，都成立. () 当时，式化为 0. 整数的值为0. 6分 此时，对一切实数，都成立.() 即 对一切实数均成立. 由得 0 () 对一切实数均成立. 由得整数的值为1. 7分此时由式得，对一切实数均成立. ()即0对一切实数均成立. ()当a=2时，此不等式化为0，不满足对一切实数均成立.当a2时， 0对一切实数均成立，() 由，得 0 1. 整数的值为1. 8分 整数，的值分别为，.海淀区24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C. （1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)； （2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.CAOBxyCAOBxy 备用图24.解：（1）， 抛物线的顶点B的坐标为. 1分（2）令，解得, . 抛物线与x轴负半轴交于点A， A (m, 0), 且m0. 2分 过点D作DFx轴于F.由 D为BO中点，DF/BC, 可得CF=FO= DF =由抛物线的对称性得 AC = OC. AF : AO=3 : 4. DF /EO, AFDAOE. 由E (0, 2)，B，得OE=2, DF=. m = -6. 抛物线的解析式为. 3分（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为,直线BC为. 作点C关于直线BO的对称点C (0，3)，连接AC 交BO于M，则M即为所求.由A（-6，0），C (0, 3)，可得直线AC的解析式为.由 解得 点M的坐标为(-2, 2). 4分由点P在抛物线上，设P (t，). ()当AM为所求平行四边形的一边时.j如右图，过M作MG x轴于G, 过P1作P1H BC于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3.由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证AMGP1Q1H . 可得P1H= AG=4. t -(-3)=4. t=1. . 5分k如右图，同j方法可得 P2H=AG=4. -3- t =4. t=-7. . 6分()当AM为所求平行四边形的对角线时,如右图，过M作MHBC于H, 过P3作P3G x轴于G, 则xH= xB =-3，xG=t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证A P3GMQ3H .可得AG= MH =1. t -(-6)=1. t=-5. . 7分综上，点P的坐标为、.朝阳区25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQMA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.25. 解：（1）抛物线经过A（3,0），B（4,0）两点， 解得所求抛物线的解析式为. 2分（2）如图，依题意知APt，连接DQ，由A（3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC5，BC，AB7.BDBC，. 3分CD垂直平分PQ，QDDP，CDQ= CDP.BDBC，DCB= CDB.CDQ= DCB.DQBC. ADQABC.解得 . 4分.5分线段PQ被CD垂直平分时，t的值为. （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E.点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M.则，即. 6分当BQAC时，BQ最小. 7分此时，EBM= ACO. .，解得.M（，）. 8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得MQMA的值最小.石景山区25已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点A（0，2m-7）与直线yx交于点B、C（B在右、C在左）（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx22xm-2有公共点，求t的取值范围解：备用图25.解：（1）点A（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5抛物线的解析式为yx22x3 2分（2）由得，B（），C（）B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得 5分（3）当在抛物线上时，可得，当在抛物线上时，可得，舍去负值，所以t的取值范围是8分丰台区25如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）(1) 抛物线经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（090），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（01时，抛物线与线段AB交于点M在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围解：25解：解：把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，-1分再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=-t；-3分不变当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），tanAMP=1，AMP=45-5分 t-7分门头沟25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D在y轴上.直线CB的表达式为 ，点A、D的坐标分别为（4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，OPQ的面积为S（不能构成OPQ的动点除外）.（1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S有最大值？并求出这个最大值.OxyABCDPQ25. 解：（1）把y4代入y x ，得x1. C点的坐标为（1，4）. .1分 （2） 当y0时， x 0，x4.点B坐标为（4，0）.过点C作CMAB于M，则CM4，BM3.BC 5.sinABC . 0t4时，过Q作QNOB于N，则QNBQsinABC t.S OPQN （4t） t t2 t（0t4）. 2分当4t5时， 连接QO，QP，过点Q作QNOB于N.同理可得QN t.S OPQN （t4） t. t2 t（4t5）. .3分当5t6时， 连接QO，QP.S OPOD （t4）4. 2t8（5t6）. .4分S随t变化的函数关系式是 .（3）当0t4时， 0在4t5时，S随t的增大而增大.当t5时，S最大 52 52. .6分当5t6时，在S2t8中，20，S随t的增大而增大.当t6时，S最大2684. 7分综合三种情况，当t6时，S取得最大值，最大值是4. 燕山 y 24. 如图，已知点M（-，2）和抛物线y=，O为直角坐标系的原点. MOx（1）若直线y=kx+3经过点M，且与x轴交于点A，求MAO的度数；（2）在（1）的条件下，将图中的抛物线向右平移，设平移后的抛物线与y轴交于点E，与直线AM 的一个交点记作F，当EFx轴时， 求抛物线的顶点坐标.24. 把点M（-，2）代入y=kx+3， y xOAPMEFN 得 -k+3=2，即k=. 1分直线AM是y=x+3.由x+3=0，得x= -.即点A（-，0）. 2分作MNx轴于N，在RtMAN中， 则AN=，MN=2.tanMAN=. MAO=MAN=30. 3分 设平移后的抛物线顶点为P（h,0），其中h0.则解析式变为y=(x-h)2.令x=0，得y=h2. 点E（0, h2）. 4分 点F在平移后的抛物线上，且EFx轴， 点F（2h, h2）. 5分 点F还在直线y=x+3上，h2=h+3. 6分 解得，h1=，h2=（舍去）. 所求抛物线的顶点坐标是（，0）. 7分密云县24 如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点(，0)（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式； （2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的 抛物线的示意图；设平移后的抛物线的对称轴与直线（B是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、四点为顶点的四边形是平行四边形24（本小题满分7分） （1）设，则A（0,2） 设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为： 过点(，0)，有解得 所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为-2分（2）平移后的抛物线如图所示: -3分相切 理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的 对称轴为直线 点是对称轴与直线的相交，易求得点的坐标为（，） 由勾股定理，可求得 设原点O到直线AB的距离为d，则有 点A为（0，2），点B为（，0）， 这说明，圆心O到直线AB的距离d与O的半径OC相等 以为圆心、为半径的圆与直线相切 -5分（3）设点的坐标为（，p） 抛物线的对称轴与轴互相平行，即AOPC 只需，即可使以，为顶点的四边形是平行四边形 由（2）知，点的坐标为（，）， 解得 ， 点的坐标为（，）或（，）-7分昌平24如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设S=PQ2（cm2）求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S=时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标24 解：（1）据题意，A(0，2)，B(2，2)， C(2，0) 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，)， 2分（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A连接AD，与对称轴的交点即为M A（0，2）、 D（4，）， 直线AD的解析式为：当x=1时， M（1，） 4分（3） AP=2t, PB=2-2t, BQ=t在RtPBQ中,B=90， ,（0t1） 当， ,1（舍） P（1，2），Q（2，） PB = 1 根据分析，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是PQRB R（3，）此时，点R（3，）在抛物线上 8分大兴区六、解答题（本题满分7分）24已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图像经过点（1，2）（1）如果用含a的代数式表示b，那么b= ；（2）如图所示，如果该图像与x轴的一个交点为（1，0）求二次函数的解析式；在平面直角坐标系中，如果点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，则称点P为等距点求出这个二次函数图像上所有等距点的坐标（3）当a取a1,a2时，二次函数图像与x轴正半轴分别交于点M（m，0），点N（n，0）如果点N在点M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边试比较a1和a2的大小，并说明理由.六、解答题（本题满分7分）24解：（1） 1分（2）二次函数经过点（1，2）和（1，0）