专题07二项式定理-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典

.2019 年新课标全国卷（ 1、2、3 卷）理科数学备考宝典7二项式定理一、 2018 年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011 2018 年新课标全国（1 卷、 2 卷、 3 卷）理科数学分类汇编7二项式定理一、考试大纲1. 二项式定理(1) 能用计数原理证明二项式定理.(2) 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.二、新课标全国卷命题分析二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。二项式定理常见的命题有利用二项展开式求指定项系数、二项式定理的逆用等等，难度适中，对分类讨论的思想考查比较多。三、典型高考试题讲评题型 1 求展开式中的特定项;.例 1 （ 2018新课标，理5）x22x54的展开式中x 的系数为（）a10b 20c 40d 80解析：cr (x2 )5 r2 rrr10 3rrr225()xc52x，当 r2 时， 103r4 ，此时系数c5 2c5 240. 故选 c.【解题技巧】 二项式展开式的通项是展开式中的第r1项 cr an r br ，先求出第 r1项的通项公式t，nr 1再借助幂运算确定参数题型 2用系数配对法解决多项式乘法问题例 2 （ 2017 全国 1 卷理科 6）111x6展开式中x 2 的系数为（） .2x6a. 15b. 20c. 30d. 35解析1+ 1x21661x11x6211xx2，对1x6二项式展开中2x 2 项的系数为265c6215 ，对621xx二项式展开中x项的系数为c 4 =15 ，所以x的系数为 151530.故选 c.【解题技巧】这是一道典型的“多项式乘以二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即r将多项式中的每一项xk 的系数与后面二项式展开式中xr k的系数相乘， 然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到x 项的系数对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决.题型 3三项式问题2例 3 （ 2015新课标，理10）x5xy的展开式中，52x y的系数为（）a 10b 20c 30d 60解析：在( x2xy) 5 的 5 个因式中， 2 个取因式中2x 剩余的 3 个因式中1 个取 x ，其余因式取y ，525故 x y 的系数为212c c c53230 .另解：(x2xy)5(x2x)y，含 y2 的项t3c52 (x2x) 3 y 2，其中( x2x)3 中含x5 的项33为 c1x4 xc1 x5 ，所以x5 y2 的系数为2130 ，故选 cc c53【解题技巧】通过凑配重组等变形将三项式化归为二项式，也可以二次展开，分步进行2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编7二项式定理一、选择题（ 2018新课标，理5）x 22x5的展开式中4x 的系数为（）a10b 20c 40d 80（ 2017新课标， 6） (11 )(1x2x)6 展开式中x2 的系数为（）a 15b 20c 30d 35（ 2017新课标， 4）xy2xy5的展开式中x3 y3 的系数为（） .a80b 40c 40d 80（ 2015新课标， 10）x25xy的展开式中，x5 y2 的系数为（）a 10b 20c 30d 60（ 2013新课标， 9）设 m 为正整数， ( x y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a， (x y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a 7b，则 m ()a 5b 6c 7d 8（ 2013新课标， 5）已知 (1ax)(1x) 5 的展开式中2x的系数为5，则 a（）a .4b .3c.2d .1（ 2011新课标， 8） ( xa )(2 x1 )5 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）xxa -40b -20c 20d 40（ 2011新课标， 8） ( xa )(2 x1)5 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）xxa - 40b - 20c20d 40二、填空题5（ 2016新课标， 14） (2 xx)的展开式中，x3 的系数是 （用数字填写答案）（ 2015新课标， 15） (ax )(1x )4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a = （ 2014新课标， 13） (xy)( xy)8 的展开式中x2 y2 的系数为 (用数字填写答案)（ 2014新课标， 13） ( xa)10 的展开式中，x7 的系数为15，则 a = .一、选择题2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编7二项式定理（解析版）（ 2018新课标，理5）x 22x54的展开式中x 的系数为（）a10b 20c 40d 80【答案】 c 解析： cr (x2 ) 5 r2 rcr2rx10 3r，当 r2 时，103r4 ，此时系数cr 2rc 2 2240 .故选 c.5()555x162（ 2017新课标， 6） (12 )(1xx) 展开式中x 的系数为（）a 15b 20c 30d 35【解析】1+ 11x 611x 611x 6 ，对1x 62222c6515xx对 11x 6242的 x 项系数为62，c2x的 x 项系数为c6 =15 ，x 的系数为 151530，故选；（ 2017新课标， 4）xy2xy5的展开式中x3 y3 的系数为（） .3 3a80b 40c 40d 80解析由二项式定理可得，原式展开中含23 32x y 的项为 x c2 xy 3yc32 x 3y 240x3 y3x y系数为 40，故选 c.（ 2015新课标， 10）x25xy的展开式中，55x5 y2 的系数为（），则的2a 10b 20c 30d 60解析：在( x2xy) 5 的 5 个因式中， 2 个取因式中x 剩余的 3 个因式中1 个取 x ，其余因式取y ，故 x5 y2 的系数为212c c c53230 .另解：(x2xy)5(x2x)y5，含 y2 的项t3c52 (x2x) 3 y 2，其中( x2x)3 中含x5 的项1415为 c3 x xc3 x ，所以52x y 的系数为c 2c130 ，故选 c53（ 2013新课标， 9）设 m 为正整数， ( x y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a， (x y)2m 1 展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a 7b，则 m ()a 5b 6c 7d 8m答案： b2 m解析： 由题意可知， a cm， b c 2 m1 ，又 13a 7b， 132m ! =72m1 !，即 132m1.解得 m6.故选 b.m! m!m! m1 !527m1（ 2013新课标， 5）已知 (1ax)(1x) 的展开式中x的系数为5，则 a（）a .4b .3c.2d .1（ 20135）d 解析： 因为 (1 x)5 的二项展开式的通项为cr xr (0 r5，r z )，则含 x2 的项为c2 x2 axc1 x555 (10 5a) x2，所以 10 5a 5， a 1. 故选 d.（ 2011新课标， 8） ( xa )(2 x1 )5 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）xxa -40b -20c 20d 40解 析1. 令x=1得a=1. 故 原 式 =( x1 )(2 x1) 5(x xx1 )(2 x1 )5xx的 通 项r155tc r (2 x)5 2r (x 1 )rc r (1)r 25r x5 2r，由 5-2r=1 得 r=2, 对应的常数项 =80 ，由 5-2r=-1 得 r=3, 对应的常数项 =-40 ，故所求的常数项为40 ，选 d解析 2.用组合提取法,把原式看做6 个因式相乘， 若第 1 个括号提出x, 从余下的5 个括号中选2 个提出x，选 3 个提出1；若第 1 个括号提出x1，从余下的括号中选2 个提出x1，选 3 个提出 x.x故常数项 =xc 2 (2 x )2c3 (1 )31c 2 (1 )2c 3 (2 x )3 =-40+80=40xxx5353（ 2011新课标， 8） ( xa )(2 x1)5 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）xxa - 40b - 20c20d 40（ 20118） d解析： 由 ( xa )(2 x1)5 的展开式中各项系数的和为2 ，得a=1 （令x=1 ） .故原式xx= (x1 )(2 x1 )5，所以通项tc r (2 x) 5 2r (x 1 ) rc r (1)r 25r x5 2 r，由 5- 2r=1 得 r =2，对应r 155xx的常数项 =80，由 5- 2r=- 1 得 r=3，对应的常数项=- 40，故所求的常数项为40，故选 d .二、填空题（ 2016新课标， 14） (2 xx)5 的展开式中，x3 的系数是 （用数字填写答案）【解析】：设展开式的第k1项为 t， k0,1,2,3,4,5k5 kkk5 k5k 1， tk 1c2 x5xc 2x5k2 当 5k23时， k4 ，即tc 2x45 44525510x3，故答案为10（ 2015新课标， 15） (ax )(1x )4 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则 a = （ 201515）3 解析： 由已知得(1x)414 x6 x24 x3x4 ，故 (ax)(1x) 4 的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ， 4ax3 ， x ， 6 x3 ， x5 ，其系数之和为4a4a1+6+1=32，解得 a3 （ 2014新课标， 13） (xy)( xy)8 的展开式中x2 y2 的系数为 (用数字填写答案)【解析】： ( xy)8 展开式的通项为tr 1c xr88 r y