大学高数公式大全

高等数学公式精品资料(tgx)sec2 x(arcsin x)11x2(ctgx)(secx)csc2 secxx tgx(arccos x)11x2(csc x)(a x )csc x a x ln actgx( arctgx )121x(log a x)1x ln a( arcctgx )11x2导数公式： 基本积分表：tgxdxln cos xcdxcos2 xsec2xdxtgxc2ctgxdxln sin xcdxcsc2 xdxctgxcsecxdxcsc xdxln secxtgxcln csc xctgxcsinxsecx tgxdxsecxcdxa2x21xarctgc aacscxa x dxctgxdx a xccscxcdxx2a 2dx1 ln xac 2axa1 axshxdxln achxca2x2lnc2aaxchxdxshxcdxa2x2arcsin xc adxx 2a 2ln( xx2a 2 )c2nisin n0xdx2cosn0xdxn1 inn 2x2a 2 dxxx2a 22xaln( x 22a 2x2a2 )cx2a 2 dxx2a22xln x2a 2x 2a 2cxa 2x2 dxa 2x22arcsinc2 a三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusinx1u2 ，cosx1u2 ，utg，2dx1u2一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦: shxeelimsin x1xx2x0x双曲余弦: chxexe x2xxlim (1x1 ) xxe2.718281828459045.双曲正切: thxshxchxeeexe xarshxarchxln( xln( xx21）x21)精品资料arthx1 ln 1x21x三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 a- -sin cos -tg -ctg 90 -cos sinctg tg90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin-cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tgctg 270 -cos -sin ctg tg270 +-cos sin-ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sincos tgctg 精品资料sin( cos(tg ()sin)cos tg)cos cos tgcos sinsin sinsinsinsinsin2 sin22 cos2cos2sin21tgtgctg ()ctg ctgctg1 ctgcos coscos cos2 cos22 sin2cos2sin2和差角公式：和差化积公式：倍角公式：sin 2 cos2ctg22 sin 2cos2 ctg 22ctgcos1112 sin2cos2sin2sin3 cos33sin 4 cos33tg4 sin33costg3tg 22tg1tg 2tg313tg 2半角公式：sin2tg1cos 21cos1cossincos2ctg1cos 21cos1cossin21cosasinb1cosc21cos222sin1cos正弦定理：sin asin b2 rsin c余弦定理： cab2 abcos c反三角函数性质：arcsin xarccosx2arctgxarcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（leibniz ）公式：(uv)( n )nnc ku ( nk 0k ) v(k )u( n) vnu ( n1) vn(n2!1) u (n2) vn(n1) n k!k1) u( nk)v (k )uv(n )中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f()( ba)柯西中值定理：f (b)f (a)f()f (b)f (a)f ()当f( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：k.: 从m 点到 ms点，切线斜率的倾角变化量；s： mm弧长。m 点的曲率： klimdy.直线： k0;s0sds(1y2 )3半径为a的圆： k1 . a1定积分的近似计算：b矩形法：abf ( x)ba( yy nyn 1 )梯形法：af ( x)bba n10( y02yn )y1yn 1 0抛物线法： f ( x)ba( yyn )2( y2y4yn 2 )4( y1y3yn 1 )a3n定积分应用相关公式：功： wfs水压力： fpa引力： fk m1m2r 2,k为引力系数b函数的平均值： y1ba af (x)dx均方根：b1ba af 2 (t )dt空间解析几何和向量代数：空间2点的距离： dm 1m 2(x2x ) 2( y2y )2( z2z )2111向量在轴上的投影：pr j u ababcos,是ab与u轴的夹角。pr j u (a1a 2 )pr ja1pr ja 2a bab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosaxbx22axayay by2azazbz222bxbybzcabijaxaybxbykaz , c bzab sin.例：线速度：vwr .向量的混合积： ab c代表平行六面体的体积(ab ) c。axayazbxbybzcxc yczabccos,为锐角时，平面的方程：1、点法式：a( xx0 )b( yy0 )c( zz0 )0，其中 n a, b, c,m 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： axbyczd03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dax0by0cz0da 2b 2c 2xx0mt空间直线的方程：xx0my y0nz z0pt,其中s m, n, p; 参数方程： yy0nt二次曲面：21、椭球面： xa 2x2y2z2b2c21y 2zz0pt2、抛物面：2 p2qz（,p, q同号）3、双曲面：2单叶双曲面： xa 22双叶双曲面： xa 2y2z2b 2c 2y2z2b 2c21（1 马鞍面）全微分： dzz dxxz dy yduu dxu dyu dz z全微分的近似计算：多元复合函数的求导法z：dzxyf x ( x, y)xf y (x, y)yzf u(t ), v(t)dzdtzf u(x, y), v( x, y)zu zxutzuzvu xvtzvvx当uu( x, y)， vv( x, y)时，duu dxxu dyydvv dx xv dy y隐函数的求导公式：隐函数f( x, y)0，隐函数f( x, y, z)dydx0，z xfx ，fyfx ，fzd 2 ydx 2z yfxfyfz(fx )(yyfx )dyfydxf (x, y,u, v)隐函数方程组：g(x, y,u, v)00j( f ,g)(u,v)fu gufv gvfufvgugv多元函数微分法及应用u1( f,g)v1(f , g)xj( x, v)xj(u, x)u1( f,g)v1(f, g)yj( y,v)yj(u, y)微分法在几何上的应用：x空间曲线y z(t )(t )在点 m (x0 (t), y0, z0)处的切线方程：xx0 (t 0 )y y0(t0 )z z0 (t0 )在点m 处的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：f ( x,y, z)0fy,则切向量 tfzfz,fxfxfy,g( x, y, z)0gyg zgzg xgxg y曲面f ( x, y, z)0上一点m ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n fx (x0 , y0 , z0 ), fy ( x0 , y0 , z0 ), fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )fz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )03、过此点的法线方程：x x0y y0z z0fx ( x0 , y0 , z0 )fy ( x0 , y0 , z0 )fz (x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：函数z其中f ( x, y)在一点p( x, y)沿任一方向为x轴到方向 l的转角。l的方向导数为： flf cos xf sin y函数zf ( x, y)在一点p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxyf它与方向导数的关系是：l单位向量。grad f (x, y)e，其中ecosisinj ，为l方向上的f 是gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设 f x ( x0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 )0，令：f xx ( x 0 , y0 )a ,f xy ( x 0 , y 0 )b ,f yy ( x 0 , y 0 )cacb 2a0时，a0 , ( x0 , y0 )为极大值0 , ( x0 , y0 )为极小值则 ： acb 20时，无极值2acb0 时 ,不确定重积分及其应用：f ( x, y)dxdyf (r cosdd,r sin)rdrd22曲面zf ( x, y)的面积 a1zzdxyx( x, y)ddxdyy( x, y)d平面薄片的重心：xm xmd,( x, y) ddym ydmd( x, y)d平面薄片的转动惯量：对于x轴i xy2( x, y)d,d对于 y轴i yx 2( x, y)dd平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点m (0,0, a), (a0)的引力： f fx , fy , fz，其中：fxf( x, y) xd，3fyf( x, y) yd，3fzfa( x, y) xd3d ( x2y2a 2 ) 2d ( x2y 2a 2 ) 2d ( x2y 2a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin, zzf ( x, y, z)dxdydzf (r , z) rdrddz,其中：f (r , z)f (rcos, r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r ( , )f (x, y, z)dxdydzf ( r ,)r 2 sindrdddd000f (r ,)r 2 sindr重心： x1 mxdv,y y mdv,z z mdv，其中 mxdv转动惯量： i x( y 2z2 )dv，i y( x2z2 )dv，i z( x2y2 )dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f (x, y)在l上连续，l的参数方程为：y,(t(t), 则：f (x, y)dslf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt(x)特殊情况：yt (t )第二类曲线积分（对坐x标的曲线积分）：( t )设 l 的参数方程为，则：y ( t )p ( x , y ) dxq ( x , y ) dyl p ( t ),( t )( t )q (t ),( t )( t ) dt两类曲线积分之间的关系：pdxqdy( pcosq cos) ds，其中和分别为lll 上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(qdxp ) dxdy ypdxlqdy格林公式：(qdxp ) dxdy ypdxlqdy当 py , qx ，即：q xp2 时，得到yd 的面积：adxdyd1 xdy2 lydx平面上曲线积分与路径无关的条件：1、 g 是一个单连通区域；2、 p ( x , y )，q ( x , y )在g 内具有一阶连续偏导数，且q xp 。注意奇点，如y( 0 , 0 ) ，应减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积注意方向相反！：在q xp 时，ypdxqdy才是二元函数u ( x , y )的全微分，其中：u ( x , y )( x , y )p ( x,( x 0 , y 0 )y ) dxq ( x,y ) dy ，通常设x 0y 00。曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsxyd xyf x, y , z( x, y )1z 2 ( x, y)z2 ( x, y) dxdy对坐标的曲面积分：p ( x, y, z) dydzq ( x, y , z) dzdxr( x, y, z) dxdy，其中：r( x, y, z) dxdyd xyr x, y , z( x, y) dxdy，取曲面的上侧时取正号；p( x, y, z) dydzd yzp x ( y, z),y , zdydz，取曲面的前侧时取正号；q( x, y, z) dzdxd zxq x, y( z, x ), zdzdx，取曲面的右侧时取正号。两类曲面积分之间的关系 ： pdydzqdzdxrdxdy( p cosq cosr cos) ds高斯公式：(pqxyr) dv zpdydzqdzdxrdxdy( p cosq cosrcos) ds高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divpqr ,即：单位体积内所产生xyz的流体质量，若div0, 则为消失.通量：andsan ds(p cosq cosrcos)ds，因此，高斯公式又可写成：div advan ds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(rq )dydz(p yzzr)dzdx(q xxp )dxdy ypdxqdyrdz上式左端又可写成：dydzx pdzdxy qdxdyz rcosx pcosy qcosz r空间曲线积分与路径无关的条件： ryq ，pz zr，qpxxy旋度：rotaijkxyzpqr向量场a沿有向闭曲线的环流量：pdxqdyrdza t dsn常数项级数：2等比数列： 1qqqn 11q等差数列： 123n( n1q1)n 2调和级数： 111231 是发散的n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判1时，级数收敛别法）：设：limnn u n，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limnu n 1 ，则u n1时，级数发散1时，不确定3、定义法：snu1u 2u n ; limnsn 存在，则收敛；否则发散。交错级数 u1u2u3u4un(或un 1u1u2u3,un0) 的审敛法 莱布尼兹定理：如果交错级数满足lim un n，那么级数收敛且其和 s 0u1 ,其余项rn的绝对值 rnun 1 。绝对收敛与条件收敛：(1) u1u 2u n(2) u1u 2u3，其中u nun 为任意实数；如果 ( 2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 ( 2)发散，而1(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。1) n调和级数：发散，而n收敛；n级数：1 收敛；n 2p级数：1 n p 时发散p1时收敛幂级数：1xx 2x3xnx1时，收敛于11x2x1时，发散对于级数( 3) a0a1 xa x 2a xnnx，如果它不是仅在原点r时收敛收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在r，使xr时发散xr时不定，其中r称为收敛半径。0时， r1求收敛半径的方法：设limnan 1a，其中an， an1是(3)的系数，则0时， rn时， r0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x )ff ( x0)( xx0 )f( x0 ) ( xx ) 2( n)( x0 ) ( xx ) n余项： rn00f ( n 1) () ( xnx0 )2!1, f ( x)可以展开成泰勒级数的n!充要条件是： lim rn0(n1)!f( 0)nf ( n ) ( 0)x00时即为麦克劳林公式：f ( x )f ( 0)f( 0) xx 2x n2!n!2n一些函数展开成幂级数：m(1x)1mxm( mn2!1) xm( m1)( mn!n1) x(1x1)35sin xxxx3!5!(1)1 x 2 n( 2 n11)!(x)欧拉公式：eixcos xi sin xcos x或eixe ix2sin xeixe ix2三角级数：f (t )a0an sin( ntn 1a 0n )2n 1( ancos nxbn sinnx )其中，a0aa 0， a nan sinn， bna n cosn，tx。正交性： 1,sinx, cosx, sin2 x, cos 2 xsinnx , cos nx任意两个不同项的乘积在,上的积分0。傅立叶级数：f ( x )a02( a nn 1cos nxb n sinnx )，周期2afn1( x ) cos其中nxdx( n0,1,2)b n1f ( x ) sinnxdx( n1,2 ,3)111325 21112222111812 23 24 2211112222（相加）62（相减）2462423412正弦级数：a n0， bn2 f ( x) sin0n xdxn1,2 ,3f ( x)bn sinnx 是奇函数余弦级数：bn0， an2f ( x ) cos0nxdxn0,1,2f ( x )a 02a n cosnx是偶函数周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：f ( x )a02( ann 1lcos nx lbn sinnx )，周期2 l lna1f lll其中bf1nll( x) cos n( x ) sin nlx dxlx dx(n0 ,1,2)(n1,2,3)微分方程的相关概念：一阶微分方程：yf ( x, y)或p ( x , y) dxq ( x , y) dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为 g ( y) dyf ( x) dx 的形式，解法：g ( y )dyf ( x) dx得：g ( y)f ( x)c 称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dy dxf ( x, y )( x, y )，即写成y 的函数，解法： x设 uy ，则dy xdxux du ，