第二章极限与连续(五)

下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 连续性的变量 气温t 物体运动路程s等 函数的连续性 x从x0变动到x时 y从f x0 变动到f x0 x 函数y f x y f x0 x f x0 函数改变量 x x x0自变量改变量 连续点 间断点 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 函数连续的定义1 设函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 如果当自变量x在点x0处的改变量 x趋近于零时 函数相应的改变量 y也趋近于零 即 称函数f x 在点x0处连续 点x0称为函数f x 的连续点 连续点 间断点 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 函数连续的定义2 设函数y f x 在点x0的某个邻域内有定义 如果函数f x 当x x0时的极限存在 且等于它在点x0处的函数值f x0 即 称函数f x 在点x0处连续 求连续函数在某点的极限 只需求出该点的函数值即可 连续点 间断点 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 左连续与右连续 设函数y f x 在区间 a b 内有定义 如果当x b时的左极限存在 且等于f b 即 称函数f x 在点b左连续 连续点 间断点 左连续与右连续 设函数y f x 在区间 a b 内有定义 如果当x a时的右极限存在 且等于f a 即 称函数f x 在点a右连续 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 左连续与右连续 设函数y f x 在区间a x b内有定义 如果当x b时的左极限存在 且等于f b 即 称函数f x 在点b左连续 左连续与右连续 设函数y f x 在区间a x b内有定义 如果当x a时的右极限存在 且等于f a 即 称函数f x 在点a右连续 如果在区间内每一点都连续的函数叫做在该区间内的连续函数 若区间是闭区间 那么函数在左端点右连续 在右端点左连续 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 例 函数连续的定义1 函数连续的定义2 证明线性函数y ax b在 内连续 并求x0点的极限 y a x0 x b ax0 b a x 下页 2 6函数的连续性 一 函数的连续性 例 函数连续的定义1 函数连续的定义2 证明y sinx在 内连续 下页 2 6函数的连续性 二 函数的间断点 函数f x 在点x0连续的三个条件 1 f x 在点x0有定义 2 f x 在点x0有极限 即存在 3 f x 在点x0的极限等于f x 在该点的函数值 即 其中一个条件不满足 f x 在点x0就不连续 x0就是间断点 下页 2 6函数的连续性 二 函数的间断点 函数f x 在点x0连续的三个条件 1 f x 在点x0有定义 2 f x 在点x0有极限 即存在 3 f x 在点x0的极限等于f x 在该点的函数值 即 定义 如果函数f x 在点x0不满足连续条件 则称f x 在点x0不连续 或称函数f x 在点x0间断 点x0称为f x 的间断点 下页 2 6函数的连续性 二 函数的间断点 例 定义 如果函数f x 在点x0不满足连续条件 则称f x 在点x0不连续 或称函数f x 在点x0间断 点x0称为f x 的间断点 1 可去间断点 若f x 在点x0有 则称点x0为函数f x 的可去间断点 令 函数f x 在x 0点就连续了 下页 2 6函数的连续性 二 函数的间断点 例 定义 如果函数f x 在点x0不满足连续条件 则称f x 在点x0不连续 或称函数f x 在点x0间断 点x0称为的间断点 1 可去间断点 若f x 在点x0存在左 右极限 但 则称点x0为函数f x 的跳跃间断点 2 跳跃间断点 下页 2 6函数的连续性 二 函数的间断点 例 定义 如果函数f x 在点x0不满足连续条件 则称f x 在点x0不连续 或称函数f x 在点x0间断 点x0称为的间断点 1 可去间断点 2 跳跃间断点 第一类间断点 f x 在点x0的左 右极限都存在 3 f x0 0 f x0 0 中至少有一个不存在 称为第二类间断点 x 1处的左右极限都不存在 下页 2 6函数的连续性 三 连续函数的运算法则及初等函数的连续性 例 1 多项式函数y a0 xn an 1x an在 内连续 定理 若函数f x 与g x 在点x0处连续 则这两个函数的和f x g x 差f x g x 积f x g x 商 在点x0处也连续 2 有理分式函数除分母为零的点外 在其它点都连续 考察y tanx及y cotx的连续性 下页 2 6函数的连续性 三 连续函数的运算法则及初等函数的连续性 定理 若函数f x 与g x 在点x0处连续 则这两个函数的和f x g x 差f x g x 积f x g x 商 在点x0处也连续 定理 连续函数的复合函数仍是连续函数 定理 连续增 减 函数的反函数x f 1 y 是连续增 减 函数 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 计算初等函数极限的方法 如果f x 是初等函数 且x0是其定义域内的一点 则有 下页 2 6函数的连续性 三 连续函数的运算法则及初等函数的连续性 例 定理 若函数f x 与g x 在点x0处连续 则这两个函数的和f x g x 差f x g x 积f x g x 商 在点x0处也连续 定理 连续函数的复合函数仍是连续函数 定理 连续增 减 函数的反函数x f 1 y 是连续增 减 函数 定理 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 求 ln sinx 在 0 内有定义且连续 2 0 下页 2 6函数的连续性 四 在闭区间上连续函数的性质 定理 如果函数y f x 在闭区间 a b 上连续 则f x 在这个闭区间上有界 定理 最大值与最小值定理 在闭区间 a b 上的连续函数f x 一定有最大值和最小值 f 1 f x a x b f 2 f x a x b 下页 2 6函数的连续性 四 在闭区间上连续函数的性质 定理 介值定理 设函数f x 在闭区间 a b 上连续 且在这区间的端点取不同的函数值f a A与f b B 那么不论C是A与B之间怎样一个数 在开区间 a b 内至少有一个点 使得f C 下页 2 6函数的连续性 四 在闭区间上连续函数的性质 推论 根存在定理 如果函数f x 在闭区间 a