高考数学中的恒成立问题与存在性问题

;.“恒成立问题”的解法常用方法： 函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法 。一、函数性质法;. .1. 一次函数型：给定一次函数f ( x)axb(a0) ,若yf ( x) 在m,n 内恒有f (x)0 ，则根据函数的图象（直线） 可得上述结论等价于yf (m)f (n)0；同理，若在 m,n 内恒有0yf ( x)0 ，则有f (m)0.f (n)0xo mno mnx例 1.对满足p2 的所有实数p ,求使不等式x2px12 pxx恒成立的x 的取值范围。略解：不等式即为(x1)px22x10 ,设f ( p)(x1) px22x1 ,则f ( p) 在2,2 上恒大于0 ，故有：f (2)0x2，即4x30x3或x1x1或x3.f (2)x210x1或x122. 二次函数： .若二次函数f ( x)axbxc(a0)0 （或0 ）在 r 上恒成立，则有a0 （或a 00 ）；0 .若二次函数f (x)ax 2bxc( a0)0 （或0 ）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。例 2. 已知函数fx2mx22 4m x1, gxmx ，若对于任一实数x ，f ( x) 与g( x) 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（)a (0 ， 2)b (0 ， 8)c (2 ， 8)d (， 0)选 b。例 3. 设f (x)x22ax2 ,当 x1,) 时，都有f ( x)a 恒成立，求a的取值范围。解：设f (x)f ( x)ax22ax2a ，（ 1) 当4(a1)(a2)0 时，即2a1时，对一切x1,) ， f ( x)0 恒成立；（ 2）当4(a1)(a2)0 时，由图可得以下充要条件：y0f (1)0即2a1,2(a1)(aa30a1,2)0-1ox3a2 ; 综合得 a 的取值范围为-3 ， 1 。x例 4. 关于 x 的方程 9(4a)3x40 恒有解，求a的范围。x解法：设 3t ,则 t0.则原方程有解即方程t 2(4a)t40 有正根。x1 x1 x20x2(440a) 0(4a)2a4160a8 .3. 其它函数：f ( x)0 恒成立f (x)min0 （若f ( x) 的最小值不存在，则f ( x)0 恒成立f (x) 的下界0 ）；f ( x)0 恒成立f ( x)max0 （若f ( x) 的最大值不存在，则f ( x)0 恒成立f ( x) 的上界0）.132例 5设函数f ( x)x 3(1a) x4ax24a ，其中常数a1 ，（1） ）讨论f (x) 的单调性；（2） ）若当x0 时，f ( x)0 恒成立，求a 的取值范围。 .s.5.u.c.o.m解：（ 2 ）由（ i）知，当 x0 时，f (x) 在 x2a或 x0 处取得最小值。f (2a)1 ( 2a)33(1a)( 2a) 24a2a24a4 a 334a 224a ；f (0)24aa1a1,则由题意得f (2a)0,f (0)0,即a( a4324a0.3)( a6)01a6a(1,6。)二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例 6已知函数f ( x)a x33 x232(a1)x1 ，其中 a 为实数2（ 1 ）已知函数f (x) 在 x1 处取得极值，求a 的值；（ 2 ）已知不等式f ( x) xxa1对任意 a(0，) 都成立，求实数x 的取值范围2222解：由题设知“ ax3x(a1)xxa1 对a(0，) 都成立， 即 a(x2)x2 x0 对a(0，) 都成立。设g( a)( x22) ax22 x （ ar ），则g( a)是一个以 a 为自变量的一次函数。x220 恒成立， 则对xr ，g( a)为 r上的单调递增函数。所以对a(0，) ，g (a)0 恒成立的充分必要条件是g(0)0 ，x22x0 ，2x0 ，于是 x 的取值范围是 x |2x0 。三、 分离参数法： 利用分离参数法来确定不等式f x,0 （ xd ,为实参数）恒成立时参数的取值范围的基本步骤:（ 1 ） 将参数与变量分离，即化为gfx（或 gfx ）恒成立的形式；（ 2 ） 求 fx 在 xd 上的最大（或最小）值；（ 3 ） 解不等式g f (x)max ( 或gfxmin) ，求得的取值范围。2适用题型：（ 1）参数与变量能分离； （ 2 ）函数的最值易求出。例 7当 x(1,2) 时， xmx40 恒成立，则m 的取值范围是.解: 当 x(1,2) 时，由x2mx4 0 得 mx24.令xf (x)x244xxx，则易知f (x) 在 (1,2)上是减函数，所以4f ( x)5 ，所以x24 x5 ， m5 .例 8. 已知 xr时，不等式acos 2 x5 4sin x5a4恒成立，求实数a 的取值范围。解：原不等式即为：14sin x2sin 2 x5a5a4 ，要使上式恒成立，只需5a4 -a+5大于14sin x2sin 2x 的最大值，因为14sin x2sin 2 x3 ，a205a5a43 ，即5a4a25a405a4(a2)a2或25a404，解得05a8.四、数形结合 （对于f ( x)g( x) 型问题， 利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判yy| x |断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。yyax| x |yax例 9若对任意xr,不等式 | x |ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（）xo(a) a1(b)| a |1(c)| a |1（ d） a1选 b 。例 10. 当 | x答案： 1(1,2)a2)时，( x1)2 .log ax 恒成立，求a 的取值范围。例 11. 已知关于x 的方程的取值范围。解：原问题即为：方程x2lg( x2220 x20x)lg(8 x6a3)0 有唯一解，求实数a8x6a30 有唯一解。1y 1=(x-1)yy 2=log a令 y1x20x ， y28x6a3 ,则如图所示，要使y1 和y2 在 x 轴上有x唯一交点，则直线必须位于163l1 和 l2 之间。（包括 l1 但不包括1l2 )。o2当直线为 l1 时，a;当直线为61631l2 时， a，2a 的范围为,) 。62另解：方程x212 x6a3 在方程 x(,20)(0,)上有唯一解有唯一解。五。根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。例 12. 若f ( x)sin( x)cos(x)为偶