经典试题系列高考题选编解答题部分圆锥曲线的方程.doc

高考题选编-圆锥曲线的方程三解答题OFxyPMH1（06年各地高考题汇编-安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。（）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。解：四边形是，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，。（）当时，双曲线为四边形是菱形，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：，又，由得：，解得，则，所以为所求。2（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程； （）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x0）。 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，），B（x0，），2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程中，得：（1k2）x22kbxb220，1 依题意可知方程1有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则 解得|k|1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b22综上可知的最小值为23（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1PF2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求椭圆C的方程；（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。解：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，椭圆的半焦距c=, b2=a2c2=4,椭圆C的方程为1.()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1），从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.因为A，B关于点M对称. 解得，所以直线l的方程为即8x-9y+25=0.(经检验，符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）.设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)4（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为5（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，记中点则线段AB的中点N在直线上，或当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。直线AB的方程是或6（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法二：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为。OPAFBDxy10（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于两点，为线段的中点（1）求点的轨迹的方程；（2）若在的方程中，令，设轨迹的最高点和最低点分为和当为何值时，为一个正三角形？解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）点P的轨迹方程为：b2x2a2y2b2cx0。（2）因为轨迹H的方程可化为：，M（，），N（ ，），F（c，0），使MNF为一个正三角形时，则tan，即a23b2. 由于，则1cosqsinq3 sinq，得qarctan。11（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II) 当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。解：(I) ，整理得: ，设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则，整理得:，故线段是圆的直径。证明二: ，整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上，则，去分母得:，点满足上方程,展开并将(1)代入得:，故线段是圆的直径。证明三: ，整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为，展开并将(1)代入得:，故线段是圆的直径。(II) 设圆C的圆心为C(x,y),则， 又因，所以圆心的轨迹方程为。设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则，当y=p时,d有最小值,由题设得，.解法二: 设圆C的圆心为C(x,y),则，又因，所以圆心的轨迹方程为。设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则，因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为，将(2)代入(3)得，解法三: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则，又因，当时,d有最小值,由题设得，.12（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程； （）的最小值。解: 椭圆方程可写为: + =1 式中ab0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x0,y0). y=2(0x1) y = 。设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=1时,上式取等号.故|的最小值为3.13（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2=(1a2)(y )2+1+a2 .因为|y|1,a1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值;若1a,则当y=1时, |PQ|取最大值2.14（全国II）已知抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且（0）过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值解：()由已知条件，得F(0，1)，0设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点M的坐标为(，)(，1)(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为0 ()由()知在ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1的距离，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且当1时，S取得最小值415（山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q点的坐标. 解：（）设双曲线方程为，由椭圆求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（）由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程：，则，在双曲线上，同理有：若则直线过顶点，不合题意. 是二次方程的两根.，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零。设的方程，则.，分的比为.由定比分点坐标公式得（下同解法一）解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零，设的方程：，则.，.，又，即，将代入得，否则与渐近线平行。解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，则，,。，同理，.即。（*）又，消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。由韦达定理有：，代入（*）式得所求Q点的坐标为。16（山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程.解：设椭圆方程为。（）由已知得，所求椭圆方程为：.（）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：，由直线与椭圆相交于A、B两点，解得。又由韦达定理得，原点到直线的距离，.解法一：对两边平方整理得：（*），整理得：，又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得，所求直线方程为：.解法二：令，则，当且仅当即时，此时.所求直线方程为。解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法：=.（下同解法一）.解法：=。（下同解法一）.yxOMDABC11212BE第21题解法图17(陕西卷) 如图,三定点A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t ,=t , t0,1. () 求动直线DE斜率的变化范围; ()求动点M的轨迹方程.解: 如图, ()设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.() =t ，(x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). ，y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求轨迹方程为: x2=4y, x2,2解法二: 如图， =+ = + t = + t() = (1t) +t， = + = +t = +t() =(1t) +t， = += + t= +t()=(1t) + t= (1t2) + 2(1t)t+t2 设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，1)， =(2，1)得 消去t得x2=4y， t0，1，x2，2故所求轨迹方程为: x2=4y， x2，218(上海卷)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解：（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得 ，又， 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,0).19（四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点。如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知， 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有 ，解得。又 ，依题意得 ，整理后得 ，或 但，故直线的方程为设，由已知，得， 又，点 将点的坐标代入曲线的方程，得，得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。，点的坐标为，到的距离为 的面积。20（四川卷）已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围；（）如果且曲线E上存在点C，使求。解：（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为。 设，由题意建立方程组，消去，得，又已知直线与双曲线左支交于两点，有，解得。 ，依题意得： ，整理后得或，但，故直线的方程为。设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为 的面积。21（天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明证：（1）由题设知，故，即，在， 在中 ，.直线OA的斜率.设直线BF的斜率为，则.这时，直线BF与轴的交点为(2)由（），得直线BF得方程为且， 由已知，设、，则它们的坐标漫步方程组 由方程组消去，并整理得 ，由式、和：由方程组消去，并整理得， 由式和，。综上，得到，注意到，得。22（天津卷）如图，双曲线的离心率为分别为左、右焦点，为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且（）求双曲线的方程；（）设和是轴上的两点，过点作斜率不为0的直线，使得交双曲线于两点，作直线交双曲线于另一点证明直线垂直于轴。解：（I）根据题设条件，设点则、满足， 因解得，故利用得于是因此，所求双曲线方程为（II）设点则直线的方程为于是、两点坐标满足 将代入得由已知，显然于是因为得同理，、两点坐标满足，可解得所以，故直线DE垂直于轴。23（浙江卷）如图，椭圆与过,的直线有且只有一个公共点，且椭圆的离心率, （）求椭圆的方程 （）设分别为椭圆的左、右焦点，求证 解：（）过 A、B的直线方程为 因为由题意得有惟一解。即有惟一解,所以， 又,即 ， 所以 从而得故所求的椭圆方程为. （）由（）得, 所以 ，由 解得 因此.从而 , 因为, 所以。24(重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是PnFn与PnCn的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（）试证：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1S1且SnSn+3