高考数学 5.1 平面向量的概念及其线性运算总复习课件.ppt

要点梳理1 向量的有关概念 1 向量 既有又有的量叫做向量 向量的大小叫做向量的 或模 2 零向量 的向量叫做零向量 其方向是的 3 单位向量 长度等于的向量 第五编平面向量 5 1平面向量的概念及其线性运算 大小 方向 长度 长度为0 任意 1个单位 基础知识自主学习 4 平行向量 方向或的向量 平行向量又叫 任一组平行向量都可以移到同一条直线上 规定 0与任一向量 5 相等向量 长度且方向的向量 6 相反向量 长度且方向的向量 相同 相反 非零 共线向量 平行 相等 相同 相等 相同 2 向量的加法和减法 1 加法 法则 服从三角形法则 平行四边形法则 运算性质 a b 交换律 a b c 结合律 a 0 2 减法 减法与加法互为逆运算 法则 服从三角形法则 b a a b c 0 a a 3 实数与向量的积 1 长度与方向规定如下 a 当时 a与a的方向相同 当时 a与a的方向相反 当 0时 a 2 运算律 设 r 则 a a a b a 0 0 0 a a a a b 4 两个向量共线定理向量b与a a 0 共线的充要条件是 有且只有一个实数 使得b a 基础自测1 如图所示 在平行四边形abcd中 下列结论中错误的是 a b c d 0解析a显然正确 由平行四边形法则知b正确 故c错误 d中 0 c 2 如图所示 d是 abc的边ab上的中点 则向量等于 a b c d 解析 d是ab的中点 a 3 2009 北京理 2 已知向量a b不共线 c ka b k r d a b 如果c d 那么 a k 1且c与d同向b k 1且c与d反向c k 1且c与d同向d k 1且c与d反向解析 c d c d 即ka b a b 又a b不共线 k 1 1 k 1 c d c与d反向 d 4 下列各命题中 真命题的个数为 若 a b 则a b或a b 若 则a b c d是一个平行四边形的四个顶点 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c a 4b 3c 2d 1 解析 由 a b 可知向量a b模长相等但不能确定向量的方向 如在正方形abcd中 但与既不相等也不互为相反向量 故此命题错误 由可得 且 由于 可能是a b c d在同一条直线上 故此命题不正确 正确 不正确 当b 0时 a c不一定成立 答案d 5 在四边形abcd中 a 2b 4a b 5a 3b 其中a b不共线 则四边形abcd为 a 梯形b 平行四边形c 菱形d 矩形解析由已知得 8a 2b 故 由共线向量知识知ad bc 且 ad 2 bc 故四边形abcd为梯形 所以选a a 题型一平面向量的有关概念 例1 给出下列命题 向量的长度与向量的长度相等 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 两个有共同起点并且相等的向量 其终点必相同 两个有共同终点的向量 一定是共线向量 向量与向量是共线向量 则点a b c d必在同一条直线上 有向线段就是向量 向量就是有向线段 其中假命题的个数为 题型分类深度剖析 a 2b 3c 4d 5熟练掌握向量的有关概念并进行判断 解析 中 向量与互为相反向量 它们的长度相等 此命题正确 中若a或b为零向量 则满足a与b平行 但a与b的方向不一定相同或相反 此命题错误 由相等向量的定义知 若两向量为相等向量 且起点相同 则其终点也必定相同 该命题正确 由共线向量知 若两个向量仅有相同的终点 则不一定共线 该命题错误 思维启迪 共线向量是方向相同或相反的向量 若与是共线向量 则a b c d四点不一定在一条直线上 该命题错误 零向量不能看作是有向线段 该命题错误 答案c 1 本题涉及的主要内容有向量的概念 向量的表示 零向量 平行向量 相等向量 共线向量 2 搞清楚向量的含义 向量不同于我们以前学习过的数量 学习时应结合物理中位移等向量进行观察 抽象 分析 比较 逐步理解向量是既有大小又有方向的量 探究提高 知能迁移1下列结论中 不正确的是 a 向量 共线与向量 同义b 若向量 则向量与共线c 若向量 则向量 d 只要向量a b满足 a b 就有a b解析根据平行向量 或共线向量 定义知a b均正确 根据向量相等的概念知c正确 d不正确 d 题型二平面向量的线性运算 例2 在 abc中 d e分别为bc ac边上的中点 g为be上一点 且gb 2ge 设 a b 试用a b表示 结合图形性质 准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键 解 思维启迪 a b 1 解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系 能熟练地找出图形中的相等向量 并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 2 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是 观察各向量的位置 寻找相应的三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果 探究提高 a b 知能迁移2 2009 山东理 7 设p是 abc所在平面内的一点 则 a b c d 解析因为 所以点p为线段ac的中点 即 如图 b 0 0 0 0 0 题型三共线向量问题 例3 12分 设两个非零向量a与b不共线 1 若 a b 2a 8b 3 a b 求证 a b d三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 1 由已知求 判断与的关系 判断a b d的关系 2 应用共线向量的充要条件 列方程组 解方程组得k值 思维启迪 1 证明 a b 2a 8b 3 a b 2a 8b 3 a b 2a 8b 3a 3b 5 a b 5 4分 共线 又 它们有公共点b a b d三点共线 6分 2 解 ka b与a kb共线 存在实数 使ka b a kb 即ka b a kb k a k 1 b 9分 a b是不共线的两个非零向量 k k 1 0 k2 1 0 k 1 12分 探究提高 1 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 知能迁移3设两个非零向量e1和e2不共线 1 如果 e1 e2 3e1 2e2 8e1 2e2 求证 a c d三点共线 2 如果 e1 e2 2e1 3e2 2e1 ke2 且a c d三点共线 求k的值 1 证明 e1 e2 3e1 2e2 8e1 2e2 4e1 e2 8e1 2e2 与共线 又 与有公共点c a c d三点共线 2 解 e1 e2 2e1 3e2 3e1 2e2 a c d三点共线 与共线 从而存在实数使得 即3e1 2e2 2e1 ke2 由平面向量的基本定理 3 2 2 k 解之得 k 得 方法与技巧1 将向量用其他向量 特别是基向量 线性表示 是十分重要的技能 也是向量坐标形式的基础 2 首尾相连的若干向量之和等于以最初的起点为起点 最后的终点为终点的向量 若这两点重合 则和为零向量 3 通过向量的共线可以证明三点共线及多点共线 但要注意到向量的平行与直线的平行的区别 思想方法感悟提高 失误与防范1 0与实数0有区别 0的模为数0 它不是没有方向 而是方向不定 0可以看成与任意向量平行 2 由a b b c不能得到a c 取不共线的向量a与c 显然有a 0 c 0 3 注意向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的根本区别与联系 定时检测一 选择题1 2009 湖南理 2 对于非零向量a b a b 0 是 a b 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件解析当a b 0时 a b a b 当a b时 不一定有a b a b 0 是 a b 的充分不必要条件 a 2 已知o为 abc内一点 且 0 则 aoc与 abc的面积之比是 a 1 2b 1 3c 2 3d 1 1解析设ac的中点为d 则 0 即点o为ac边上的中线bd的中点 a 3 2008 全国 理 3 在 abc中 c b 若点d满足 则等于 a b c d 解析如图所示 在 abc中 a b c b c b c b c 4 2008 广东理 8 在平行四边形abcd中 ac与bd交于点o e是线段od的中点 ae的延长线与cd交于点f 若 a b 则等于 a b c d 解析如图所示 e是od的中点 又 abe fde 3 在 aoe中 答案b 5 2008 海南理 8 平面向量a b共线的充要条件是 a a b方向相同b a b两向量中至少有一个为零向量c r b ad 存在不全为零的实数1 2 1a 2b 0解析a中 a b同向则a b共线 但a b共线 a b不一定同向 因此a不是充要条件 若a b两向量中至少有一个为零向量 则a b共线 但a b共线时 a b不一定是零向量 如a 1 2 b 2 4 从而b不是充要条件 当b a时 a b一定共线 但a b共线时 若b 0 a 0 则b a就不成立 从而c也不是充要条件 对于d 假设1 0 则a b 因此a b共线 反之 若a b共线 则a b 即ma nb 0 令1 m 2 n 则1a 2b 0 答案d 6 已知向量a b c中任意两个都不共线 并且a b与c共线 b c与a共线 那么a b c等于 a ab bc cd 0解析 a b与c共线 a b 1c 又 b c与a共线 b c 2a 由 得 b 1c a b c 1c a c 1 1 c a 2a 1 1 01 12 12 1 d 即 a b c c c 0 二 填空题7 设e1 e2是两个不共线的向量 已知 2e1 ke2 e1 3e2 2e1 e2 若a b d三点共线 则实数k的值为 解析 2 4 k 8 则k 8 8 在 abc中 a b m是cb的中点 n是ab的中点 且cn am交于点p 则可用a b表示为 解析如图所示 a b 9 在 abc中 已知d是ab边上一点 若式 则 解析由图知 且 0 2得 3 三 解答题10 如图所示 在 abc中 d f分别是bc ac的中点 a b 1 用a b表示向量 2 求证 b e f三点共线 1 解延长ad到g 使连接bg cg