线性代数期末考试试卷+答案合集

.大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2 分，共 10 分）;.131.若05121x0 ，则 。22. 若齐次线性方程组x1x2x1x2x1x2x3x3x3000 只有零解，则应满足。3. 已知矩阵a， b， c( cij ) sn ，满足 accb ，则 a与 b 分别是阶矩阵。4. 矩阵 aa11 a 21 a31a12 a 22 a32的行向量组线性。5. n 阶方阵 a 满足 a 23 ae0 ，则 a 1。二、判断正误（正确的在括号内填“”，错误的在括号内填“”。每小题 2 分，共 10 分）1. 若行列式 d 中每个元素都大于零，则d 0 。（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3. 向量组a1， a2， am 中，如果a1 与am 对应的分量成比例，则向量组a1， a 2，as 线性相关。（）01001000000100104. a，则 a 1a 。（）5. 若为可逆矩阵a 的特征值，则a的特征值为。 ()1三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共 10 分)1. 设 a为 n 阶矩阵，且a2 ，则a at（）。2n2 n 12n 1 42.n 维向量组1，2， ，s （3sn ）线性无关的充要条件是（）。1，2，s 中任意两个向量都线性无关1，1，2，2，s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示s 中任一个向量都不能用其余向量线性表示1，2， ，s 中不含零向量3. 下列命题中正确的是()。任意 n 个 n任意 n 个 n1维向量线性相关1维向量线性无关任意 n任意 n1个 n维向量线性相关1个 n维向量线性无关4. 设 a， b 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是()。 若 a ， b 均可逆，则ab 可逆 若 a， b 均可逆，则a b可逆 若 ab 可逆，则ab 可逆 若 ab 可逆，则a ， b 均可逆5.若1，2，3，4 是线性方程组a0 的基础解系，则1234 是 a0 的（） 解向量 基础解系 通解 a 的行向量四、计算题(每小题 9 分，共 63 分)xabcdaxbcdaabxbccxdd解xabcdxabcdbcdaxbcdxabcdxbcdabxcdxabcdbxcdabcxdxabcdbcxd1. 计算行列式。( xab1bcd1xbcdcd)1bxcd1bcxd10( xabcd )00bcdx000x000x(xabc3d) x2. 设 aba2b ，且 a301110 ,014求 b 。解. ( a2e) ba( a2 e) 1211221， b111( a2e) 1 a5224322233. 设 b110011000110021000100020,c21302143且矩阵满足关系式x (cb)e,求。4. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？11a12121,2a,3。2211a225. 为何值时，线性方程组x1x2x3x1x2x3x1x2x332有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多2解时求其通解。 当1且2 时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解2当1时，有无穷多组解，通解为001c1101c201146.设1,2102190,3,41331310.77求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。7.设 a100010021，求 a 的特征值及对应的特征向量。五、证明题(7分)若 a是 n 阶方阵，且aai，a1，证明ai0 。其中 i 为单位矩阵。大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 52.13.ss， nn4. 相关5. a3e二、判断正误3.4.5.3.4.5.1.2.三、单项选择题1.2.四、计算题1.xab axb ababcdcdxcdcxdx a b c d x a b c d x a b c d x a b c dbcdxbcd bxcd bcxd( xab1bcd1xbcdcd)1bxcd1bcxd10( xabcd )00bcdx000x000x(xabcd) x32.( a2 e)ba( a2 e) 1211221， b111( a2 e) 1 a5224322233.1230120012321000014321cb43，(cb)1000210010121cb120100001， xecb102110002100121001214.a1， a2，a3关。a11221a12211a221 ( 2a81)2(2a12) 当 a或 a 21 时，向量组a1， a2， a3 线性相5. 当1且2 时，方程组有唯一解；当2时方程组无解2当1时，有无穷多组解，通解为001c1101c2016.( a1，a2，a3，124911370341000161603170317001313a4 )1301012130142121301421002010200110000则r a1，a2，a3， a43 ，其中a1，a2，a3 构成极大无关组，a42a12 a2a37.100ea010(1) 3002100010特征值1231 ，对于 1 1，1ea000，特征向量为k0l0五、证明题02001aiaaaa iaiaia 2 ia0 ，ia0一、选择题（本题共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 a ， b 为 n 阶方阵，满足等式ab0 ，则必有（）(a) a0 或 b0 ; (b)ab0 ； （ c） a0 或 b0 ; (d)ab0 。2、 a 和 b 均为 n 阶矩阵，且( ab)2a22 abb2 ，则必有（）(a) ae ；(b)be ；（c）ab .(d)abba。3、设 a 为mn 矩阵，齐次方程组ax0 仅有零解的充要条件是（）(a)a 的列向量线性无关；(b)a 的列向量线性相关；（c） a 的行向量线性无关；(d)a 的行向量线性相关 . 4、n 阶矩阵 a 为奇异矩阵的充要条件是（）(a) a 的秩小于 n ；(b)a0 ；(c)a 的特征值都等于零；(d)a的特征值都不等于零； 二、填空题（本题共4 小题，每题 4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 a的行列式a5 ， a 是 a的伴随矩阵，则a=。6、 a 为 nn 阶矩阵，且 a2a2e0 ，则 ( a2 e) 1。7、已知方程组121x123a2x213无解，则 a。1a2x348 、 二 次 型f ( x , x, x )2 x23x2tx 22x x2x x是 正 定 的 ， 则 t 的 取 值 范 围1231231 21 3是。三、计算题（本题共2 小题，每题 8 分，满分 16 分）1x1119、计算行列式 d11x11111y11111y10、计算 n 阶行列式x13x1dnx2xnx23xnx1x2xn3四、证明题（本题共2 小题，每小题8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组1,2 ,3 线性相关，向量组2 ,3 ,4 线性无关。证明：(1) 1 能有2 ,3 线性表出；(2) 4 不能由1 ,2 ,3 线性表出。12、设 a是 n 阶矩方阵， e 是n 阶单位矩阵， ae 可逆，且f ( a)(ea)( ea)。1证明（ 1）( ef ( a)( ea)2 e ；（ 2）f ( f( a)a 。五、解答题（本题共3 小题，每小题 12 分，满分 32 分。解答应写出文字说明或演算步骤）20013、设 a032023，求一个正交矩阵p 使得 p1 ap为对角矩阵。14、已知方程组x1x1x22 x2x3ax300 与方程组 x12 x2x3a1 有公共解。x4xa 2 x0求 a 的值。12315、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1 ，2 ，3 是它的三个解向量， 且21321，234354求该方程组的通解。一、选择题1、c； 2 、d； 3 、a； 4 、a。二、填空题解答和评分标准5、-125;6、三、计算题；7、-1 ；8、 t3 。259、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：xx0011x1100yy1111ydx0001第二列减第一列，第四列减第三列得：dx10（4 分）00y0101y按第一行展开得x10dx0y001y按第三列展开得x022dxyx y。（4 分）1y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子nxi3，再通过行列式的变换化i 1为上三角形行列式ndnxii11x21x2331x2xn xnxn3（ 4 分）1x2xnnxi3i 1030003ni3n 1x3i 1（4 分）四、证明题11、证明：(1) 、 因 为2 ， 3 ,3 线性无关，所以2 ， 3 线性无关。，又1 ，2 ， 3 线性相关，故1能由2 ， 3 线性表出。(4分)r (1 ， 2 ， 3 )3 ，（ 2）、（反正法）若不，则4 能由1 ， 2 ,3 线性表出，不妨设4k11k22k33 。由（ 1）知，1能由2 ， 3 线性表出，不妨设1t12t23 。所以4k1 (t12t23 )k22k33 ，这表明2 ， 3 ,4 线性相关，矛盾。12、证明（ 1） (ef( a)( ea) e(ea)( ea)1 ( ea)( ea)( ea)( ea)1 ( ea)( ea)( ea)2 e（4 分）（ 2）f ( f( a) ef( a)ef ( a) 1由（ 1）得： ef ( a)11 ( ea)2，代入上式得1111 1f ( f ( a) e(ea)( ea)(ea)( ea)( ea)( ea)(ea) 2221 (ea)1 (ea)a（4 分）22五、解答题13、解：（1） ）由ea0 得 a 的特征值为11 ，22 ，35 。（4 分）0（2） ） 11 的特征向量为11，1122 的特征向量为20，035 的特征向量为301。（3 分）1（3） ）因为特征值不相等，则1 ,2 ,3 正交。（ 2 分）（4） 将1,2 ,3 单位化得 p10211， p211010， p31201（2 分）010（5） ）取pp , p , p1011232222100（6） p1 ap020（1 分）00510114、解：该非齐次线性方程组axb 对应的齐次方程组为ax0因 r( a)3 ，则齐次线性方程组的基础解系有1 个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（ 5 分）另一方面，记向量2 1(23 ) ，则aa(2123 )2 a1a2a32bbb0直接计算得(3,4,5,6)t0 ，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为xk32431k， k5465r。（7 分）15、解：将与联立得非齐次线性方程组:x1x2x12x2x14x2x12x2x33ax3 a2 xx30,0,0,a1.若此非齐次线性方程组有解,则与有公共解 ,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵a 作初等行变换得 :1110111012a001a1014a 2000(a2)( a1)0121a1001aa1a.（4 分）1当 a1时，有r ( a)r ( a)23 ，方程组有解 ,即与有公共解 ,其全部公共解即1010010000000000为的通解，此时a，1则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为:0,1所以与的全部公共解为k10， k 为任意常数 .1（4 分）2 当 a2 时，有 r ( a)r ( a)3 ，方程组有唯一解 ,此时a10001000100001，10故方程组的解为 :011,即与有唯一公共解x011.（4 分）线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分)一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12a13a11a11a121.设行列式=m，=n，则行列式a21a 22a23a21a 21a22a13a23等于（）a. m+nc. n- mb. - (m+n)d. m - n102.设矩阵 a=0200003，则 a- 1 等于（）a.10000102013c.10301000012d.12000130001313.设矩阵 a=1021214， a*是 a 的伴随矩阵，则a * 中位于（ 1， 2）的元素是（）a. 6c. 24. 设 a 是方阵，如有矩阵关系式a. a =0b. 6d. 2ab =ac ，则必有（）b. bc 时 a=0c. a0 时 b=cd. | a|0 时 b=c5. 已知 3 4 矩阵 a 的行向量组线性无关，则秩（a t）等于（）a. 1b. 2c. 3d. 46. 设两个向量组 1， 2， s 和 1， 2 ， s 均线性相关，则（）a. 有不全为0 的数 1， 2， s 使 1 1+ 2 2+ s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0b.有不全为0 的数 1， 2， s 使1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + s（ s+ s） =0c.有不全为0 的数 1， 2， s 使1（ 1- 1） +2 （ 2- 2） + s（ s- s） =0d.有不全为0 的数 1， 2， s 和不全为0 的数 1， 2， s使 1 1+ 2 2+s s=0和 1 1+ 2 2+ s s=07. 设矩阵 a 的秩为 r，则 a 中（）a. 所有 r- 1 阶子式都不为0b.所有 r- 1 阶子式全为0 c.至少有一个r 阶子式不等于0d.所有 r 阶子式都不为08. 设 ax=b 是一非齐次线性方程组， 1， 2 是其任意2 个解，则下列结论错误的是（）a. 1+ 2 是 ax=0 的一个解b. 1 2 1 + 1 2 是 ax=b 的一个解2c. 1- 2 是 ax=0 的一个解d.2 1- 2 是 ax=b 的一个解9. 设 n 阶方阵 a 不可逆，则必有（）a. 秩(a)nb. 秩(a)=n - 1c.a=0d. 方程组 ax=0 只有零解10. 设 a 是一个 n( 3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）a. 如存在数 和向量 使 a = ，则 是 a 的属于特征值 的特征向量b. 如存在数 和非零向量 ，使 ( e- a) =0，则 是 a 的特征值c.a 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量d.如 1， 2， 3 是 a 的 3 个互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 a 的属于 1， 2， 3 的特征向量，则 1， 2 ， 3 有可能线性相关11. 设 0 是矩阵 a 的特征方程的3 重根，a 的属于 0 的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（）a. k 3b. k312. 设 a 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）a.| a|2 必为 1b.|a|必为 1c.a - 1=atd. a 的行（列）向量组是正交单位向量组t13. 设 a 是实对称矩阵，c 是实可逆矩阵，b=c ac . 则（）a. a 与 b 相似b. a 与 b 不等价c. a 与 b 有相同的特征值d. a 与 b 合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（）23343426100111c.023d.120035102a. b.第二部分非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11115.35692536111.12316. 设 a =11， b=1124.则 a +2b=.17. 设a =(aij) 3 3 ， |a|=2 ， aij表 示 |a | 中 元 素aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3） , 则(a11a 21+a12a 22+a13a 23)2+(a21a 21+a22a 22+a23a 23)2+(a31a 21+a32a 22+a33a 23)2=.18.设向量（ 2，-3， 5）与向量（ -4， 6，a）线性相关，则a=.19. 设 a 是 3 4 矩阵，其秩为3，若 1， 2 为非齐次线性方程组ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为.20. 设 a是 m n 矩阵， a的秩为r(n) ，则齐次线性方程组ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.21. 设向量 、 的长度依次为2 和 3，则向量 + 与 - 的内积（ + ， - ） =.22. 设 3 阶矩阵 a 的行列式 |a|=8，已知 a 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为.23. 设矩阵 a=01061332108，已知 =21 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值为.224. 设实二次型f(x 1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）12025.设 a =340， b=12131231240.求（ 1） ab t；（ 2） |4a |.26. 试计算行列式125134.2011153327. 设矩阵 a=423110123，求矩阵 b 使其满足矩阵方程ab =a +2b.28. 给定向量组 1=21， 2=0313， 3=243001， 4 =.2419试判断 4 是否为 1， 2， 3 的线性组合；若是，则求出组合系数。121022426629. 设矩阵 a=.2102333334求：（ 1）秩（ a）；（2） a 的列向量组的一个最大线性无关组。02230.设矩阵 a=234的全部特征值为1， 1 和- 8.求正交矩阵t 和对角矩阵d，使t - 1at =d.24331. 试用配方法化下列二次型为标准形1f(x 1,x2,x3)= x 22x 23x 24x x4x x4xx，231 21323并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32. 设方阵 a 满足 a3=0，试证明e - a 可逆，且（ e- a） - 1=e +a+a 2.33. 设 0 是非齐次线性方程组ax=b 的一个特解， 1， 2 是其导出组ax=0 的一个基础解系.试证明（ 1） 1= 0+ 1， 2= 0 + 2 均是 ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.d2.b3.b4.d5.c6.d7.c8.a9.a10.b11.a12.b13.d14.c二、填空题（本大题共10 空，每空2 分，共 20 分）33715. 616.13717. 418. 1019. 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)），c 为任意常数120. n- r21. 522. 223. 124.z 2222zzz234三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）2022864034=1810.2110310125.解（ 1） ab t=31（ 2） |4a |=43 |a|=64|a |，而120|a |=3401212 .所以|4a |=64（ - 2） =- 12826. 解311251115134111320110011533553511511=1111=62010055055062301040.5527. 解ab =a+2b 即（ a- 2e） b=a ，而（ a- 2e） - 1=1223110121143153 .164143423386所以b=(a- 2e) - 1 a=153110=296.164123212928. 解一213005321035103511301011201124011200880011901311200141400001300223411002010100110000,所以 4=2 1+ 2+ 3，组合系数为（2， 1， 1） .解二考虑 4=x 1 1+x 2 2+x 3 3，2x 1x 23x 30x1即2x 23x 13x 212x 344x 2x 39.方程组有唯一解（2， 1， 1） t，组合系数为（2， 1， 1） .29. 解对矩阵 a 施行初等行变换12102000620328200062000310963200021700000a12102032831210203283=b.（ 1）秩（ b）=3，所以秩（ a） =秩（ b） =3.（ 2）由于 a 与 b 的列向量组有相同的线性关系，而b 是阶梯形， b 的第 1、2、4 列是 b 的列向量组的一个最大