高考数学函数的最大值与最小值课件 新人教A版.ppt

选修 第二章导数 2 5 函数的最大值与最小值 若恒有 1 函数y f x 在某个区间内可导 复习提问 2 对于可导函数 注意 函数在极值点处连续 导数为0的点不一定是极值点 但不一定可导 一 复习与引入 1 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧右侧 那么 f x0 是极小值 2 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 3 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值 二 新课 函数的最值 观察右边一个定义在区间 a b 上的函数y f x 的图象 发现图中 是极小值 是极大值 在区间上的函数的最大值是 最小值是 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下 怎样才能判断出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 设函数f x 是定义在 a b 上的函数 在 a b 内可导 则求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与f a f b 作比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 3 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值 4 在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值进行比较 三 例题选讲 例1 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 令 解得x 1 0 1 当x变化时 的变化情况如下表 从上表可知 最大值是13 最小值是4 例2 求函数在区间 1 3 上的最大值与最小值 解 令 得 相应的函数值为 又f x 在区间端点的函数值为 f 1 6 f 3 0 比较得 f x 在点处取得最大值在点处取得最小值 四 应用 1 实际问题中的应用 在日常生活 生产和科研中 常常会遇到求函数的最大 小 值的问题 建立目标函数 然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路 在建立目标函数时 一定要注意确定函数的定义域 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形 如果函数在这个点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 这里所说的也适用于开区间或无穷区间 满足上述情况的函数我们称之为 单峰函数 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 解 设箱底边长为x 则箱高h 60 x 2 箱子容积v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近60 时 箱子的容积很小 因此 16000是最大值 答 当x 40cm时 箱子容积最大 最大容积是16000cm3 例3 已知某商品生产成本c与产量q的函数关系式为c 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为 求产量q为何值时 利润l最大 利润l等于收入r减去成本c 而收入r等于产量乘价格 由此可得出利润l与产量q的函数关系式 再用导数求最大利润 分析 五 小结 1 求在 a b 上有定义 a b 上可导的函数f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 求函数的最值时 应注意以下几点 1 要正确区分极值与最值这两个概念 2 一旦给出的函数在 a b 上有个别不可导点的话 要把这些点的函数值与各极值和f a f b 放在一起比较 3 应用问题要引起重视 在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大 小 值 而且函数在这