10.3组合组合的应用

10 3组合 3 组合的应用 2020年4月16日星期四 一 复习回顾 组合 从n个不同元素中取出m m n 个不同元素 并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数 从n个不同元素中取出m m n 个不同元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 组合数公式 性质2 例1 从编号为1 2 3 10 11的共11个球中 取出5个球 使得这5个球的编号之和为奇数 则一共有多少种不同的取法 例2 现有8名青年 其中有5名能胜任英语翻译工作 有4名能胜任德语翻译工作 其中有1名青年两项工作都能胜任 现在要从中挑选5名青年承担一项任务 其中3名从事英语翻译工作 2名从事德语翻译工作 则有多少种不同的选法 二 例题选讲 方法 根据奇数号球的个数分成三类 方法 根据两项工作都能胜任的青年的各种工作情况分成三类 例3 甲 乙 丙三人值周 从周一至周六 每人值两天 但甲不值周一 乙不值周六 问可以排出多少种不同的值周表 例4 6本不同的书全部送给5人 每人至少1本 有多少种不同的送书方法 方法 先任取2本 捆绑 看成一个元素 再将5个 不同元素 书 送给5个人 方法1 根据甲的各种值周情况分成两类 1 值周六且不值周一 2 不值周六且不值周一 方法2 间接法 方法 根据象为2的元素的个数分类 可分为三类 第一类 没有一个元素的象为2 其象之和又为4 第二类 有一个元素的象为2 其象之和又为4 第三类 有两个元素的象为2 其象之和又为4 例5 f是集合M a b c d 到N 0 1 2 的映射 且f a f b f c f d 4 则不同的映射有多少个 1 以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有个 分析 间接法 8个顶点中任取4个顶点的组合数减去四点共面的情况 分2类 1类构成表面 2类构成对角 2 以一个正方体的8个顶点连成的异面直线共有对 分析 由上题中的每个四面体的四条棱可以组成3对异面直线 课堂练习1 3 以下把不同的书送人有多少种不同的送书方法 6本不同的书全部送给5人 5本不同的书全部送给6人 5本相同的书全部送给6人 每人至多1本 例6 现有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为两组 一组7人 一组5人 分为甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 分析 把12人分成两组 一组7人 一组5人与把12人分成甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 实质上是一样的 都必须分成两步 第1步从12人中选出7人组成一组 或甲组 有C127种方法 第2步剩余的5人组成一组 或乙组 有C55种方法 所以 总的分配种数都为C127C55种 思考 把12人分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 与 比较 有何相同和不同地方 例6 现有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为甲 乙两组 甲组7人 乙组5人 分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 相同地方都是分成甲乙两组 一组7人 一组5人 有C127 C55种 不同地方是一组7人 一组5人 并没有指明甲乙谁是7人 谁是5人 要考虑甲乙的顺序 所以要再乘以A22 所以 总的种数为C127C55A22 分析 把12个人分为甲 乙两组 每组6人 可分成两步 第一步 从12人中抽出6人给甲组 有C126种 余下的6人给乙组有C66种 所以共有C126C66种 例6 现有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为甲 乙两组 一组7人 一组5人 分为甲 乙两组 每组6人 分为两组 每组6人 注意 上述 属于平均分配问题 必须注意 在平均分配问题中如果没有给出组名 一定要除以组数的阶乘 分析 把12个人分为两组 每组6人 与把12个人分为甲 乙两组 每组6人 相比较 显然分成甲 乙两组 这里有顺序关系 如123456分在甲组与123456分在乙组是不一样的 但作为分成两组却是一样的 所以把12个人分为两组 每组6人的种数为C126C66 A22种 相当于在 的基础再作一步全排列 例6 现有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为甲 乙两组 每组6人 分为两组 每组6人 例6 现有12人 按照下列要求分配 求不同的分法种数 分为甲 乙 丙三组 每组4人 分为三组 每组4人 分成三组 其中一组2人 另外两组都是5人 分析 平均分配问题中 若没给出组名 一定要除以组数的全排列数 部分平均分配问题中 先考虑不平均分配 剩下的就是平均分配 这样分配问题就解决了 方法小结 1 非平均分配问题中 没有给出组名与给出组名是一样的 可以直接分步求 给出了组名而没指明哪组是几个 可以在没有给出组名 或给出组名但不指明各组多少个 种数的基础上乘以组数的全排列数 2 平均分配问题中 给出组名的分步求 若没给出组名的 一定要在给出组名的基础上除以组数的全排列数 3 部分平均分配问题中 先考虑不平均分配 剩下的就是平均分配 这样分配问题就解决了 例7 某乒乓球队有8男7女共15名队员 现进行混合双打训练 两边都必须要1男1女 共有多少种不同的搭配方法 分析 每一种搭配都需要2男2女 所以先要选出2男2女 然后考虑2男2女搭配 体现了 先组后排 的思想 例8 九张卡片分别写着数字0 1 2 8 从中取出三张排成一排组成一个三位数 如果6可以当作9使用 问可以组成多少个三位数 分析 可以分为两类情况 一类取出了6 又分成6在首位和6不在首位两个小类 另一类不取6 课堂练习2 1 4名优等生被保送到3所学校 每所学校至少得1名 则不同的保送方案总数为 2 若把英语单词 error 中字母的拼写顺序写错了 则可能出现的错误的种数是 3 15人按照下列要求分配 求不同的分法种数 1 分为三组 每组5人 2 分为甲 乙 丙三组 一组7人 另两组各4人 3 分为甲 乙 丙三组 一组6人 一组5人 一组4人 4 小于50000且含有两个5 而其它数字不重复的五位数个 5 8名同学选出4名站成一排照相 其中甲 乙两人都不站中间两位的排法有种 6 某班有27名男生13女生 要选6人组成班委会和团支部 每队3人