3.4生活中的优化问题举例

3 4生活中的优化问题举例 新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用 利用导数求最值的方法 可以求出实际生活中的某些最值问题 1 几何方面的应用 2 物理方面的应用 3 经济学方面的应用 面积和体积等的最值 利润方面最值 功和功率等最值 例1 海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图1 4 1所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为128dm2 上 下两边各空2dm 左 右两边各空1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空心面积最小 解 设版心的高为xdm 则版心的宽为dm 此时四周空白面积为 求导数 得 于是宽为 因此 x 16是函数S x 的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为16dm 宽为8dm时 能使四周空白面积最小 答 当版心高为16dm 宽为8dm时 海报四周空白面积最小 解法二 由解法 一 得 问题2 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料 瓶子制造成本是0 8 r2分 已知每出售1ml的饮料 可获利0 2分 且瓶子的最大半径为6cm 瓶子半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子半径多大时 每瓶饮料的利润最小 解 由于瓶子的半径为 所以每瓶饮料的利润是 令 当 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递增 即半径越大 利润越高 当半径r 时 f r 0它表示f r 单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为 cm时 利润最小 这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此时利润是负值 半径为 cm时 利润最大 未命名 gsp 1 当半径为2cm时 利润最小 这时f 2 0 2 当半径为6cm时 利润最大 从图中可以看出 从图中 你还能看出什么吗 问题3 磁盘的最大存储量问题 1 你知道计算机是如何存储 检索信息的吗 2 你知道磁盘的结构吗 3 如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息 例3 现有一张半径为R的磁盘 它的存储区是半径介于r与R的环行区域 是不是r越小 磁盘的存储量越大 2 r为多少时 磁盘具有最大存储量 最外面的磁道不存储任何信息 解 存储量 磁道数 每磁道的比特数 1 它是一个关于r的二次函数 从函数的解析式可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求f r 的最大值 先计算 解得 例4 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 R h 解设圆柱的高为h 底面半径为R 则表面积为S R 2 Rh 2 R2 又V R2h 定值 即h 2R 可以判断S R 只有一个极值点 且是最小值点 答罐高与底的直径相等时 所用材料最省 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用材料最省 课堂练习 1 用总长为14 8m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 2 课本P104 利用导数解决优化问题的基本思路 优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题 回顾总结 解决优化问题的方法