上学期北京清华附中高一数学平移

高中数学第一册 下 5 8平移 初中学习二次函数图象时 把抛物线y x2向右平移两个单位 再向上平移3个单位 得新位置上的抛物线y x 2 2 3 显然新 旧抛物线大小 形状都没有改变 只是位置发生了变化 这里所说的大小 形状都没有改变 是从总体宏观上说明的 那么我们能否从微观上分析新 旧位置上两抛物线对应点的坐标变化规律 想一想 1 把一个向量平行移动到某一位置所得新向量与原向量相等吗 想一想 相等 2 把一个图形F作平行移动到某一个位置所得的新图形F 与原图形F相同吗 相同 例如 把三角函数y sinx的图象向左移 个单位得函数y sin x 的图象 1 平移的定义 设F是坐标平面内的一个图形 将F上所有点按同一方向移动同样长度 得到图形F 我们把这一过程称为图形的平移 F F 1 平移所遵循的 长度 和 方向 正是向量的两个本质特征 因此 从向量的角度看 一个平移就是一个向量 在图形平移过程中 每一点都是按照同一方向移动同样的长度 所以我们有两点思考 我们通常把平移说成按照某一向量平移 注意 例如 把三角函数y sinx的图象向左移 单位得函数y sin x 的图象 把三角函数y sinx的图象按 0 平移得到函数y sin x 的图象 2 由于图形可以看成点的集合 故认识图形的平移 就其本质来讲 就是要分析图形上点的平移 2 平移公式 设图形F上任意一点P x y 在按向量 h k 平移后 图形F 上的对应点为P x y 得 x y x y h k P P 则由 注意 1 容易看到 公式中是用旧点的坐标和平移向量的坐标来表示新点坐标的 从向量的角度可以理解为向量坐标等于终点 新点 坐标减去起点 旧点 坐标 故公式也可变形为 注意 2 x y 是平移前点的坐标 x y 是平移后点的坐标 而 h k 是由平移方向和平移长度所确定的向量的坐标 3 平移公式反映了图形中每一点在平移前后的新坐标与原坐标间的关系 4 平移公式只适用于坐标轴不变 图形 或点 平移的情况 例1 1 把点A 2 1 按 3 2 平移 求对应点A 的坐标 x y 解 根据平移公式 得 即对应点A 的坐标为 1 3 例1 2 点M 8 10 按平移后的对应点M 的坐标为 7 4 求 解 根据平移公式 得 解得 即的坐标为 15 14 例2将函数y 2x的图象l按 0 3 平移到l 求l 的函数解析式 解 设P x y 为l上的任意一点 它在l 上的对应点为P x y 则由平移公式得 将它们代入到y 2x中 得到y 3 2x 即y 2x 3 注意 习惯将上式中的x y 写作x y 即l 的函数式为 y 2x 3 将图形按 0 3 平移 也就是将图形沿y轴向上平移3个单位 例3已知抛物线y x2 4x 7 1 求抛物线顶点的坐标 2 求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时函数的解析式 解 1 配方得y x 2 2 3 从而顶点O 的坐标为 2 3 也可直接用公式法求抛物线顶点坐标 此法见教材P124例3 例3已知抛物线y x2 4x 7 1 求抛物线顶点的坐标 2 求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时函数的解析式 2 分析 将抛物线y x2 4x 7平移 使点O 2 3 与点O 0 0 重合 这种图形变换可以看作是将其按向量平移得到的 解 设 m n 则 代入抛物线方程得 整理得y x 2 即 即当将原抛物线平移到使顶点与坐标原点重合时 其函数解析式为 y x2 设P x y 是抛物线y x2 4x 7上任一点 平移后的对应点为P x y 由平移公式得 y 3 x 2 2 4 x 2 7 如果将抛物线y x2 4x 7看作是从其顶点在坐标原点的位置平移过去的 怎样求原抛物线的解析式 仍为 y x2 小结 2 方程f x y 0在平移 下的新方程是f x h y k 0 然后再把上标去掉 得f x h y k 0 但前后 x y 不是一回事 1 从平移公式上看 确定一个平移变换 只要知道 h k 或只要给出一对对应点坐标 3 平移的作用 小结 1 求对应点的坐标 2 用于化简方程 一般用待定系数法 或配方法选择平移向量 h k 1 分别将点A 3 5 B 7 0 按向量 4 5 平移 求平移后各对应点的坐标 2 把函数y x的图象l按 0 4 平移到l 求l 的函数解析式 巩固练习 A 7 10 B 11 5 y x 4 3 若把点A 3 2 平移后得到对应点A 1 3 按此平移方式 求点B 1 3 的对应点B 巩固练习 B 1 4 按向量 2 3 平移 4 将抛物线y x2 4x 7经过怎样的平移 可以得到y x2 1 教材P125