6.1不等式的性质

第六章不等式 6 1不等式的性质 1 1 不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子叫不等式 2 初中所学不等式的性质 不等式的两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 不等号的方向不变 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 3 如何表示数轴上两个点所对数的大小 数轴上右边的点所对的数大于左边的点所对的数 4 如图 A B是数轴上的两个点 A B所对数分别为a b 试比较a b与0的大小 例题选讲 练习1 用不等号填空 0 练习2 练习3 P51 2 3 5 不等式的性质 证明 由正数的相反数是负数 得 即 后半部分同学们自己证 即 对称性 把不等式左右两边交换 所得不等式与原不等式为异向不等式 定理2 如果 证明 两个正数的和仍是正数 这种传递性可以推广到n个的情形 传递性 证明 从而可得移项法则 不等式中任何一项改变符号后 可以把它从一边移到另一边 如a b c 则a b b c b 即a c b 证明 证明 问 如果a b 且c d 则a c与b d有怎样的关系 并加以证明 问 如果a b 且c d 则a c与b d有怎样的关系 并加以证明 这一推论可以推广到有限个同向不等式同向相加 不等号不改变方向 4 小结 同向不等式 在两个不等式中 如果每个不等式的左边都大于 或小于 右边 这两个不等式就是同向不等式 异向不等式 在两个不等式中 如果一个不等式的左边大于 或小于 右边 另一个不等式的左边小于 或大于 右边这两个不等式就是异向不等式 性质 练习 比较下列各式的大小 6 1不等式的性质 2 回顾 1 比较两个实数的大小常采用的方法 它的理论依据是什么 2 同向不等式与异向不等式 3 不等式的性质1 2 3 定理4 如果a b且c 0 那么ac bc 如果a b且c 0 那么ac bc 乘法单调性 证明 ac bc c a b 所以a b即a b 0 根据同号相乘为正 异号相乘为负 可得 当c 0时 a b c 0 即ac bc 当c 0时 a b c 0 即ac bc 定理4 如果a b且c 0 那么ac bc 如果a b且c 0 那么ac bc 乘法单调性 推论1 a b 0 且c d 0 那么ac bd 相乘法则 证法一 证法二 ac bd ac bc bc bd c a b b c d 因为a b 0 c d 0 所以a b 0 c d 0c a b 0 b c d 0 所以c a b b c d 0 即ac bd 定理4 如果a b且c 0 那么ac bc 如果a b且c 0 那么ac bc 乘法单调性 推论1 a b 0 且c d 0 那么ac bd 相乘法则 推论2 如果a b 0 那么an bn nN 且n 1 定理5 如果a b 0 那么 例1 判断下列命题是否正确 并说明理由 假 假 真 假 真 真 例2 1 若a b 0 则下列不等关系中不能成立的是 2 如果a b 那么下列不等式 a3 b3 2a 2b lga lgb其中恒成立的是 A B C D 3 若a b是任意实数 且a b 则 4 若角满足则的取值范围为 D B D A 例3 若 6 a 8 2 b 3 分别求2a b a b 的范围 注意 同向不等式不能两边相减 的范围要分开来讨论 例4 已知 1 a b 3 且2 a b 4 求2a 3b的范围 注意 这类问题不能利用a b a b的范围先求a b的范围 再求2a 3b的范围 这样无形中会把a b的范围扩大了 定理4 如果a b且c 0 那么ac bc 如果a b且c 0 那么ac bc 乘法单调性 推论1 a b 0 且c d 0 那么ac bd 相乘法则 推论2 如果a b 0 那么an bn nN 且n 1 定理5 如果a b 0 那么 小结 1 不等式性质定