9.4三垂线定理

6三垂线定理 9 4直线与平面垂直的判定和性质 教学目的 掌握三垂线定理及逆定理运用三垂线定理及逆定理解决数学问题在实际生活中运用三垂线定理及逆定理 重点与难点 三垂线定理及逆定理的适用条件三垂线定理及逆定理的应用 复习提问 1 直线和平面垂直的判定定理 2 平面的斜线段的长与射影长的关系 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 这个结论是如何得到呢 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面 如果和这个平面的一条 斜线 那么它 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 内的一条直线 的射影垂直 也和这条斜线 垂直 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面 如果和这个平面的一条 斜线 那么它 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 证明 AC 面 内的一条直线 的射影垂直 也和这条斜线 垂直 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面 如果和这个平面的一条 斜线 那么它 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 证明 AC 面 内的一条直线 的射影垂直 也和这条斜线 垂直 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面 如果和这个平面的一条 斜线 那么它 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 证明 AC 面 AC a a 面 内的一条直线 的射影垂直 也和这条斜线 垂直 一 三垂线定理 a A B C 1 三垂线定理 在平面 如果和这个平面的一条 斜线 那么它 已知 AC和AB分别是平面 的垂线和斜线 BC是AB在平面 上的射影 a a BC 求证 a AB 证明 AC 面 AC a a 面 BC a AC BC C a 平面ACB AB 面ACB a AB 内的一条直线 的射影垂直 也和这条斜线 垂直 注意 三垂线定理中的 三垂 指的是平面中的三个垂直关系 1 线和面垂直 AC和 垂直2 线和射影垂直 a和BC垂直3 线和斜线垂直 a和AB垂直 a A B C 那么 什么是三垂线定理的逆定理呢 2 三垂线定理的逆定理 a A B C 在平面 内的一条直线 如果和 这个平面的一条斜线 垂直 那么它 也和这条斜线 的射影 2 三垂线定理的逆定理 a A B C 在平面 内的一条直线 如果和 这个平面的一条斜线 垂直 那么它 也和这条斜线 的射影 垂直 三垂线定理和逆定理的关键在于应用 这也是我们本节课的重点和难点 先看一例生活中的数学问题 二 应用 A B 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 A B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 A E F B 怎样才能求出 旗杆顶部A到楼底部的距离呢 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 A E F B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 A E F B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC 所以AC是A到EF的距离 A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC 所以AC是A到EF的距离 A E F C B 二 应用 例1 已知学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部的距离为8米 求旗杆顶部A到楼底部的距离 解 过B 作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C 由三垂线定理知EF AC 所以AC是A到EF的距离 由勾股定理得 米 答 旗杆底部B到楼底部的距离为米 A E F C B 感觉不错吧 再来看一个例子 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC A B C P O E F 哟 这个有点难 动动脑筋吧 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF A B C P O E F 在平面 内的射影 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF OE OF AB PE PO 平面 A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF OE OF AB PE PO 平面 A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF OE OF AB PE PO 平面 由三垂线定的逆定理 有OE AB A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF OE OF AB PE PO 平面 由三垂线定的逆定理 有OE AB A B C P O E F 例2 已知 P为 BAC所在平面 外一点 O为P在平面内的射影 PE AB于E PF AC于F PE PF 求证 AO平分 BAC 证明 连接OE 连接OF 它们分别是PE PF 在平面 内的射影 PE PF OE OF AB PE PO 平面 由三垂线定的逆定理 有OE AB A B C P O E F 同理OF AC 有OE AB AO为 BAC的平分线 即AO平分 BAC 学以致用 下面几道题要检验同学们听讲的效果 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 认真想一想线面垂直的定义 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 通过直线C的运动 我们可知这道题的答案应该是 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 三 练习 1 判断下列命题的真假 1 一条直线垂直于一个平面 它就垂直于这个平面 内所有的直线 真 2 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上的射 影 如果直线c b 那么a c a b c 假 3 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上旋转一 周一射影 是平面 的垂线 如果直线c a c b 那么c a b c 3 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上旋转一 周一射影 是平面 的垂线 如果直线c a c b 那么c a b c 3 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上旋转一 周一射影 是平面 的垂线 如果直线c a c b 那么c a b c 3 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上旋转一 周一射影 是平面 的垂线 如果直线c a c b 那么c a b c 这道题的答案应该是 3 已知a是平面 的斜线 b是a在平面 上旋转一 周一射影 是平面 的垂线 如果直线c a c b 那么c a b c 真 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D O 注意 认真分析题目所给的条件 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D A O是AO在底面A C 上的射影 B D AO O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D A O是AO在底面A C 上的射影 B D AO O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D A O是AO在底面A C 上的射影 B D AO O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D A O是AO在底面A C 上的射影 B D AO 即AO就是点A到B D 的距离 O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B D 连接A C 它们交于O 再连接AO ABCD A B C D 是正方体 A C B D 即 A O B D A O是AO在底面A C 上的射影 B D AO 即AO就是点A到B D 的距离 O 2 正方体的边长为5厘米 求点A到B D 的距离 A A B B C C D D 解 连接B