2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《两角和与差的正弦余弦正切公式二》 （含答案解析）.doc

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.知识点一两角和与差的正切公式思考1怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案为： tan()=，分子分母同除以cos cos ，便可得到.思考2由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案为： 用- 替换tan()中的即可得到.梳理名称简记符号公式使用条件 两角和的正切T()tan()=，均不等于k(kZ)两角差的正切T(- )tan(- )=，- 均不等于k(kZ)知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T()的变形：tan tan =tan()(1- tan tan ).tan tan tan tan tan()=tan().tan tan =1- .(2)T(- )的变形：tan - tan =tan(- )(1tan tan ).tan - tan - tan tan tan(- )=tan(- ).tan tan =- 1.类型一正切公式的正用例1.(1)已知tan =- 2，tan()=，则tan 的值为 .(2)已知，均为锐角，tan =，tan =，则= .反思与感悟(1)注意用已知角来表示未知角.(2)利用公式T()求角的步骤：计算待求角的正切值.缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息.根据角的范围及三角函数值确定角.跟踪训练1已知是第四象限角，且sin=，则tan= .类型二正切公式的逆用例2：(1)= ；(2)= .反思与感悟注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示.跟踪训练2求下列各式的值：(1)；(2).类型三正切公式的变形使用例3.(1)化简：tan 23tan 37tan 23tan 37；(2)若锐角，满足(1tan )(1tan )=4，求的值.反思与感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式：tan tan =tan()(1tan tan )或1tan tan =.当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果.跟踪训练3在ABC中，AB，且tan Atan B=tan Atan B，则角C的值为()A. B. C. D.1.若tan =3，tan =，则tan(- )等于()A. B.- C.3 D.- 32.已知cos =- ，且，则tan等于()A.- B.- 7 C. D.73.已知AB=45，则(1tan A)(1tan B)的值为()A.1 B.2 C.- 2 D.不确定4.已知A，B都是锐角，且tan A=，sin B=，则AB= .5.已知=3，tan(- )=2，则tan(- 2)= .1.公式T()的结构特征和符号规律(1)公式T()的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差或和.(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.2.应用公式T()时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，、(或- )的终边不能落在y轴上，即不为k(kZ).(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan =1，tan =，tan =等.特别要注意tan()=，tan(- )=.(3)公式的变形应用只要用到tan tan ，tan tan 时，有灵活应用公式T()的意识，就不难想到解题思路.特别提醒：tan tan ，tan tan ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.课时作业一、选择题1.若tan =，tan()=，则tan 等于()A. B. C. D.2.tan 23tan 97- tan 23- tan 97的值为()A.2 B.2 C. D.03.已知tan()=，tan=，则tan的值为()A. B. C. D.4.A，B，C是ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2- 5x1=0的两个实数根，则ABC是()A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定5.若tan 28tan 32=a，则tan 28tan 32等于()A.a B.(1- a) C.(a- 1) D.(a1)6.设向量a=(cos ，- 1)，b=(2，sin )，若ab，则tan等于()A.- B. C.- 3 D.37.在ABC中，tan Atan Btan C=3，tan2B=tan Atan C，则B等于()A.30 B.45 C.120 D.60二、填空题8.已知tan =，则的值是 .9.= .10.已知，均为锐角，且tan =，则tan()= .11.如图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC的外部，且BDCDAD=236，则tan BAC= . 12.若(tan - 1)(tan - 1)=2，则的最小正值为 .三、解答题13.已知tan=，tan=2，求：(1)tan的值；(2)tan()的值.四、探究与拓展14.如果tan ，tan 是方程x2- 3x- 3=0两根，则= .15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值.答案解析例1.答案为：3解析：tan =tan()- =3.(2)答案为：解析：因为tan =，tan =，所以tan()=1.因为，均为锐角，所以(0，)，所以=.跟踪训练1答案为：- 解析由题意，得cos=，tan=.tan=tan=- =- .例2：答案为：(1)；(2)- 1；解析：(1)原式=tan(4515)=tan 60=.(2)原式=tan(30- 75)=- tan 45=- 1.跟踪训练2解：(1)原式=tan(45- 75)=tan(- 30)=- tan 30=- .(2)原式=.例3.解：(1)方法一tan 23tan 37tan 23tan 37=tan(2337)(1- tan 23tan 37)tan 23tan 37=tan 60(1- tan 23tan 37)tan 23tan 37=.方法二tan(2337)=，=，- tan 23tan 37=tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37=.(2)(1tan )(1tan )=1(tan tan )3tan tan =4，tan tan =(1- tan tan )，tan()=.又，均为锐角，0180，=60.跟踪训练3答案为：A解析tan Atan B=tan Atan Btan(AB)(1- tan Atan B)=(tan Atan B- 1).若1- tan Atan B=0，则cos Acos B- sin Asin B=0，即cos(AB)=0.0AB，AB=与题设矛盾.由得tan(AB)=- ，即tan C=.又0C，C=.1.答案为：A解析tan(- )=.2.答案为：D解析由cos =- ，且，得sin =，所以tan =- ，所以tan=7.故选D.3.答案为：B；解析：(1tan A)(1tan B)=1(tan Atan B)tan Atan B=1tan(AB)(1- tan Atan B)tan Atan B=11- tan Atan Btan Atan B=2.4.答案为：解析B为锐角，sin B=，cos B=，tan B=，tan(AB)=1.又0AB，AB=.5.答案为：解析由条件知=3，则tan =2.tan(- )=2，tan(- )=- 2，故tan(- 2)=tan(- )- =.1.答案为：A解析tan =tan()- =.2.答案为：C解析：tan(2397)=tan 120=- ，tan 23tan 97=- tan 23tan 97，原式=tan 23tan 97- (- tan 23tan 97)=.3.答案为：A；解析因为=()- (- )，所以tan=.4.答案为：A解析：tan Atan B=，tan Atan B=，tan(AB)=，tan C=- tan(AB)=- ，C为钝角，即ABC为钝角三角形.5.答案为：B解析：tan(2832)=，tan 28tan 32=(1- a).6.答案为：B；解析由ab=2cos - sin =0，得tan =2.tan=.7.答案为：D；解析由公式变形得tan Atan B=tan(AB)(1- tan Atan B)=tan(180- C)(1- tan Atan B)=- tan C(1- tan Atan B)=- tan Ctan Atan Btan C.tan Atan Btan C=- tan Ctan Atan Btan Ctan C=tan Atan Btan C=3.又tan2B=tan Atan C，tan3B=3，tan B=，B=60.8.答案为：9.答案为：解析原式=tan(75- 15)=tan 60=.10.答案为：1解析tan =，tan tan tan =1- tan ，tan tan tan tan =1，tan tan =1- tan tan ，=1，tan()=1.11.答案为：解析ADBC且BDCDAD=236，tan BAD=