概率统计-第五章-大数定律与中心极限定理PPT课件

1 第五章大数定律与中心极限定理 切比雪夫不等式大数定律中心极限定理 2 5 1切比雪夫 Chebyshev 俄罗斯 不等式定理5 1 1设随机变量X E X D X 2 则对任意的 0 必有 或 或等价于 为研究随机现象的统计规律 进行大量重复实验中 当实验次数n 时 频率fn在某种收敛意义下 依概率收敛 收敛于某一定数 这是大数定律所描述的内容 而其概率分布近似于某一分布 如正态分布 这称为中心极限定理 3 切比雪夫不等式 给出了在随机变量X的分布未知时 概率P X E X 的一个上限 当 分别取时2 3 4 时 有P X E X 2 1 4P X E X 3 1 9P X E X 4 1 16 4 证明 以连续型为例 离散的证明中相应积分号用和号代替 1 推论 D X 0 则X以概率1为常数 即P X C 1 C EX 证明 5 事件未必互不相容 但 是成立的 6 例5 1已知某种股票每股价格X的平均值为1元 标准差为0 1元 求a 使股价超过1 a元或低于1 a元的概率小于10 解由切比雪夫不等式 令 7 5 2大数定律 设随机变量序列X1 X2 Xn 若存在随机变量Y 使得对于任意正数 均有 则称随机变量序列 Xn 依概率收敛于随机变量Y 并记为 一 依概率收敛 若存在常数a 任意的正数 使得 则称随机变量序列 Xn 依概率收敛于常数a 并记为 8 意思是 当 a 而 意思是 时 Xn落在 内的概率越来越大 当 与 的区别 9 二 几个常用的大数定律 1 切比雪夫大数定律设随机变量序列X1 X2 Xn 相互独立 每一个随机变量都有数学期望E X1 E X2 E Xn 和有限的方差D X1 D X2 D Xn 并且D Xn C i 1 2 则任意正数 即 几个随机变量的均值依概率收敛于它的期望 10 证明因为X1 X2 Xn 相互独立 由切比雪夫不等式可得 该定理表明 相互独立的随机变量的算数平均值 与数学期望的算数平均值的差在n充分大时是一个无穷小量 这也意味着在n充分大时 经算术平均后得到的随机变量的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的附近 11 切比雪夫大数定律的特殊情况 独立同分布大数定律设随机变量序列X1 X2 Xn 相互独立 且具有相同的数学期望 和相同的方差 2 记前n个随机变量的算术平均为Yn 则随机变量序列Y1 Y2 Yn 依概率收敛于 即 证明 切比雪夫大数定律 12 2 贝努利大数定律设进行n次独立重复 贝努利 实验 每次试验中事件A发生的概率为p 记nA为n次试验中事件A发生的次数 则 证明 由切比雪夫不等式可直接证明 即 13 例5 2 证明 随机变量序列 Yn 依概率收敛于 要证 Yn 依概率收敛于 需证 14 15 例5 3 16 5 3中心极限定理 前面我们的讨论中讲过正态分布在随机变量的一切可能分布中占有特殊地位 在客观世界中 我们遇到的许多随机现象都是服从或近似服从正态分布的 为什么大量的随机变量都服从正态分布 俄国数学家李亚普诺夫 证明了在某些非常一般的充分条件下 独立随机变量的和的分布 当随机变量的个数无限增加时 是趋于正态分布的 在概率论中 把大量独立的随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理统称为中心极限定理 它反映的随机变量的特点是 对随机现象起作用的因素众多 但无突出的因素 诸因素的影响微小而均匀 随机变量 可以看作是各微小因素叠加的结果 i i 和的分布常常是正态的 我们这里给出的两个最常用的中心极限定理 17 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立同分布 且E Xi D Xi 2 2 0 i 1 2 记前n个变量的和的标准化变量为 一 独立同分布的中心极限定理 Lindeberg Levy林德贝格 列维 则Yn的分布函数Fn x 对任意的x 都有 18 该定理说明 当n充分大时 Yn近似地服从标准正态分布 Yn N 0 1 随机变量 近似地服从于正态分布 中心极限定理可以解释如下 假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和 其中每个随机变量对于总和的作用都很微小 则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的 在实际工作中 只要n足够大 便可把独立同分布的随机变量之和当作正态变量 19 例5 4将一颗骰子连掷100次 则点数之和不少于500的概率是多少 解设Xk为第k次掷出的点数 k 1 2 100 则X1 X2 X100独立同分布 而且 由中心极限定理 20 二 德莫佛 拉普拉斯定理 DeMoivre Laplace 在n重贝努利试验中 每次试验中事件A发生的概率为p 0 p 1 记Xn为n次试验中事件A发生的次数 则对任何区间 a b a b 有 其中q 1 p 即Xn B n p 则 此定理表明 正态分布是二项分布的极限分布 当n充分大时 服从二项分布的随机变量的概率计算可以转化为正态随机变量的概率计算 21 一般地 当n较大 而p较小时 证明 将Xn分解为n个0 1分布Yi之和 Yi B 1 p 再用独立同分布中心极限定理即得 计算时常用 泊松分布也可用于近似计算 但要求n很大 p很小 本定理无此要求 22 23 例5 5某车间有200台机床 它们独立地工作着 设每台机器开工率为0 6 开工时耗电1千瓦 问供电所至少要供多少电才能以不小于99 9 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产 解设X为200台机器中工作着的机器台数 则X B 200 0 6 n 200 p 0 6 np 120 npq 48 近似地有X N np npq 即X N 120 48 设r是供电所供给电力的最小数 千瓦 由题意 查表得 r 142 24 例5 6在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险 每人每年付12元保险费 在一年内一个人死亡的概率为0 6 死亡时其家属可向保险公司领得1000元 问 1 保险公司亏本的概率有多大 2 其他条件不变 为使保险公司一年的利润有99 的概率不少于60000元 赔偿金至多可设为多少 25 解设X表示一年内死亡的人数 则X B n p 其中n 10000 p 0 6 np 60 npq 59 64设Y表示保险公司一年的利润 则Y 10000 12 1000X于是由中心极限定理 1 P Y 0 P 10000 12 1000X 0 1 P X 120 1 7 769 0 26 2 设赔偿金为a元 则P Y 60000 P 10000 12 aX 60000 P X 60000 a 0 99 由中心极限定理 上式等价于 27 例5 7现有一大批种子 其中良种占1 6 今从其中任意选6000粒 试问在这些种子中 良种占的比例与1 6之差小于1 的概率是多少 解选一粒良种看成是一次随机试验 因此选6000粒种子看作是6000重伯努里试验 令X表示6000粒种子中的良种数 则X服从n 6000 p 1 6的二项分布 28 例5 8某药厂宣称 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为80 医院检验员任意抽查了100个服用此药品的病人 如果其中多于75人治愈 就接受这一断言 认为该厂没有虚假宣传 否则就认为该长宣传不符实际 问 1 实际上此药品对该病的治愈率确实为80 问接受厂方宣传的概率是多少 2 若实际上此药品对该病的治愈率是70 接受厂方宣传的概率是多少 解设X表示服用此药品的100例病人中被治愈人数