高考数学二轮复习 5.3 圆锥曲线的定义及几何性质课件 理.ppt

第3讲圆锥曲线的定义及几何性质重点知识回顾1 圆锥曲线的第一定义 第一定义中要重视 括号 内的限制条件 椭圆中 与两个定点f1 f2的距离的和等于常数2a 且此常数2a一定要大于 f1f2 当常数等于 f1f2 时 轨迹是线段f1f2 当常数小于 f1f2 时 无轨迹 双曲线中 与两定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a 且此常数2a一定要小于 f1f2 定义中的 绝对值 与2a f1f2 不可忽视 若2a f1f2 则轨迹是以f1 f2为端点的两条射线 若2a f1f2 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 2 椭圆的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的比是常数e 0 e 1 时 这个动点的轨迹是椭圆 3 双曲线的第二定义 平面内到定点 焦点 与到定直线 准线 距离的比是常数e e 1 的点的轨迹叫做双曲线 4 椭圆 1 a b 0 上一点p x0 y0 到它的左 右两焦点的距离分别是a ex0 a ex0 其中最大值为a c 最小值为a c 焦点到相应准线的距离为 通径长为 5 双曲线 1 a 0 b 0 右支上的一点p x0 y0 到它的左焦点的距离r1是ex0 a r1的最小值为c a p到右焦点的距离r2是ex0 a r2的最小值为c a 焦点到相应准线的距离为 通径长为 6 若过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的直线交抛物线于a b两点 设a x1 y1 b x2 y2 为直线ab的倾斜角 则有下列性质 y1y2 p2 x1x2 ab x1 x2 p 主要考点剖析考点一圆锥曲线的定义命题规律常以焦点三角形的出现来考查圆锥曲线第一定义 以到焦点与到准线距离的转化考查圆锥曲线第二定义 如焦半径问题 例1 1 若抛物线y2 2x上的两点a b到焦点的距离和是5 则线段ab的中点到y轴的距离是 2 设f1 f2是椭圆 1 a b 0 的两个焦点 若椭圆上存在点p 使 f1pf2 120 则椭圆离心率的取值范围是 解析 1 设a b p在抛物线的准线l上的射影分别是a1 b1 p1 则由抛物线的定义知 aa1 bb1 af bf 5 pp1 aa1 bb1 p到y轴的距离d 2 2 法一 设 pf1 m pf2 n 由余弦定理得 2c 2 m2 n2 2mncos120 m n 2 mn m n 2 3a2 即 2 e 1 法二 设椭圆的长半轴 短半轴 半焦距分别为 a b c 如图 在rt bf1o中 f1bo 60 即 bf1o 30 这时cos bf1o 又椭圆离心率小于1 故所求离心率的范围是 1 答案 1 2 2 1 点评 1 说明在处理抛物线中有关 焦半径 长的问题时 借助抛物线的定义及平面几何的有关知识可简化问题的求解 2 求椭圆离心率的取值范围时 可利用 pf1 pf2 2a这个定值 挖掘题目中隐含的不等关系 如mn 2 也可利用数形结合判定p点位于短轴顶点b时 f1pf2最大 于是 f1bf2 120 互动变式1 1 双曲线c1 1 a 0 b 0 的左准线为l 左焦点和右焦点分别为f1和f2 抛物线c2的准线为l 焦点为f2 c1与c2的一个交点为m 则等于 a 1 b 1 c d 2 已知椭圆 1的右焦点为f 右准线与x轴的交点为d 椭圆上一点p使得 pfd 60 sin pdf 则该椭圆的离心率e 解析 由题设可知点m同时满足双曲线和抛物线的定义 且在双曲线右支上 故由定义可得 mf1 mf2 故原式 1 2 过点p作pa垂直x轴交于点a 根据第二定义有e pf ad 答案 1 a 2 考点二圆锥曲线的几何性质命题规律考查圆锥曲线简单几何性质 如离心率问题 通径问题 渐近线问题 各元素间距问题 范围问题 例2 1 设f1 f2分别是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 若在其右准线上存在点p 使线段pf1的中垂线过点f2 则椭圆离心率的取值范围是 a b c d 2 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为f 若过点f且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此双曲线离心率的取值范围是 a 1 2 b 1 2 c 2 d 2 解析 1 由题意知 f2f1 f2p 只需以f2为圆心以 f2f1 为半径的圆与右准线有交点即可 2c c 得3c2 a2 故e 故选d 2 双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为f 若过点f且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 离心率e2 4 e 2 答案 1 d 2 c 点评 解决本类问题题除了要掌握不同曲线的定义和标准方程外 还要熟悉各种性质 掌握数形结合的方法 互动变式2 1 椭圆的中心为点e 1 0 它的一个焦点为f 3 0 相应于焦点f的准线方程为x 则这个椭圆的方程是 2 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 f2 p为椭圆上一点 且 pf1 pf2 的最大值的取值范围是 2c2 3c2 其中c 则椭圆的离心率的范围为 解析 1 椭圆的中心为点e 1 0 它的一个焦点为f 3 0 半焦距c 2 相应于焦点f的准线方程为x a2 5 b2 1 则这个椭圆的方程是 y2 1 选d 2 设p x0 y0 pf1 pf2 a2 e2x02 且0 x02 a2 当x02 0时 pf1 pf2 max a2 故2c2 a2 3c2 即 e2 e 答案 1 d 2 b 例3已知双曲线的中心为原点o 右焦点为f c 0 p是双曲线右支上一点 且 ofp的面积为 1 若点p的坐标为 2 求此双曲线的离心率 2 若c2 当 取得最小值时 求此双曲线的方程 分析 求离心率 就是求c与a的比值 通过条件转化得到a c的关系式 即可求得离心率 再结合条件得到a b的方程组 进而求得双曲线方程 解析 1 设所求的双曲线的方程为 1 a 0 b 0 由 得c b2 c2 a2 2 a2 点p 2 在双曲线上 1 解得a2 1 离心率e 2 设所求的双曲线的方程为 1 a 0 b 0 p x1 y1 则 x1 c y1 ofp的面积为 y1 y1 1 c2 x1 c c c2 解得x1 c 2 当且仅当c 时等号成立 此时p 由此得 则所求双曲线的方程为x2 1 点评 本题考查双曲线方程及性质等知识 综合考查了运算技能及方程思想 转化与化归思想 解决此类问题一般是用待定系数法 求曲线方程关键是根据条件 转化为主要参数的方程组 然后解方程组 求得参数的值 可得曲线方程 互动变式3 2011衡水一中上学期期末 已知直线 1 4k x 2 3k y 3 12k 0 k r 所经过的定点f恰好是椭圆c的一个焦点 且椭圆c上的点到点f的最大距离为8 1 求椭圆c的标准方程 2 已知圆o x2 y2 1 直线l mx ny 1 求证 当点p m n 在椭圆c上运动时 直线l与圆o恒相交 并求直线l被圆o所截得的弦长的取值范围 解析 1 由 1 4k x 2 3k y 3 12k 0 k r 得 x 2y 3 k 4x 3y 12 0 由解得f 3 0 设椭圆c的方程为 1 a