高考数学二轮复习 7.1 排列与组合课件 理.ppt

第7专题计数原理与概率统计知识网络 第1讲排列与组合重点知识回顾1 分类计数原理 完成一件事 有n类办法 在第一类办法中有m1种不同的方法 在第二类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 2 分步计数原理 完成一件事 需要分成n个步骤 做第一步有m1种不同的方法 做第二步有m2种不同的方法 做第n步有mn种不同的方法 那么完成这件事共有n m1 m2 mn种不同的方法 3 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 n n 1 n 2 3 2 1 n 组合数公式 4 组合数性质 主要考点剖析考点一两个基本原理命题规律对两个基本原理的考查在高考中经常以选择题或填空题的形式出现 难度属中等 例1 1 三人相互传球 由甲开始发球 经过5次传球后 球仍回到甲手中 则不同的传球方法的种数是 a 6 b 8 c 10 d 16 2 1 2 3 4号足球运动员各有一件球衣在4人中互相赠送 每一个运动员不能拿自己的球衣 则不同的赠送方法有 a 6种 b 9种 c 11种 d 23种 解析 1 画树枝图 共有10种不同的方法 选c 2 法一 画树枝图 略 法二 记1 2 3 4号足球运动员对应的球衣为a b c d 先让1号运动员选择 有3种方法 如选b 然后 让与球衣b对应的2号运动员选择 也有3种方法 如选d 再让与d对应的4号运动员选择 则只能选a 因此 不同的赠送方法有3 3 9种 答案 1 c 2 b 点评 第 2 小题是著名的贝努利装错信封问题当n 4时的特例 原意是 若一个人写了n封不同的信和n只相应的不同的信封 问这个人把这n封信都装错了信封的装法有多少种 问题可转化为 n个不同元素a1 a2 an进行排列 其中ai不排第i个位置的排法种数 由容斥原理 可得相应的排法种数为 n 互动变式1 1 在一个正六棱锥的所有棱所在的直线中 异面直线共有 对 2 如下图 共有 个不同的三角形 解析 1 每一条侧棱对应着4对异面直线 共有6 4 24对 2 所有不同的三角形可分为三类 第一类 其中有两条边是原五边形的边 这样的三角形共有5个 第二类 其中有且只有一条边是原五边形的边 这样的三角形共有5 4 20个 第三类 没有一条边是原五边形的边 即由五条对角线围成的三角形 共有5 5 10个 由分类计数原理得 不同的三角形共有5 20 10 35个 答案 1 24 2 35 考点二排列应用题命题规律高考试题中排列应用题以选择题或填空题形式出现 考查的内容是 含有特殊元素或特殊位置的排列问题 元素相邻或相间的排列问题 和 元素有顺序限制的排列问题 等 例2 1 电视台连续播放6个广告 其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告 要求首尾必须播放公益广告 则共有 种不同的播放方式 用数字作答 2 高三 一 班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 共有 种不同的排法 用数字作答 3 a b c d e五人并排站成一排 如果b必须站在a的右边 a b可以不相邻 那么不同的排法种数是 a 24种 b 60种 c 90种 d 120种 解析 1 分二步 首尾必须播放公益广告的有a种 中间4个为不同的商业广告有a种 故有 48种不同的播放方式 2 不同排法的种数为 3600 3 b在a的右边与b在a的左边排法数相同 所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半 即 60种 答案 1 48 2 3600 3 b 点评 含有特殊元素或特殊位置的排列问题 其解题对策 一是用直接法 即先排特殊元素或特殊位置 二是用排除法 即先不考虑元素或位置的特殊性 再排除不和条件的排列 元素相邻的排列问题 其解题对策是用 捆绑法 元素相间的排列问题 第一类是不相邻问题可用 插空法 先把其它元素排列好 然后把特殊元素插排在它们之间或两端的空档中 第二类是元素之间相间固定个数的元素问题可用 捆绑法 先选好元素放入两个元素之间 把它们 捆绑 在一起 再和其它元素排列 元素有顺序限制的排列问题 其解题对策 一是先不考虑顺序限制排列后 再利用规定顺序的实情 采用除法求出结果 二是先选好位置给这些特殊元素排 再排其它元素的位置 三是先排其它元素 剩下的位置给那些有顺序的元素排 互动变式2 1 用1 2 3 4 5 6组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的奇偶性不同 且1和2相邻 这样的六位数有 个 用数字作答 2 将数字1 2 3 4 5 6排成一列 记第i个数为ai i 1 2 6 且a1 1 a3 3 a5 5 a1a3 a3a5的五位数共有 个 用数字作答 解析 1 在6个位置中 1和2相邻的可以有5种 这样的六位数共有5 40个 2 若a1 2或3 a5 6 则a3 4或5 若a1 4 a5 6 则a3 5 故满足条件的排列方法有5 30种 3 因为a2 a1 a3 a4 a3 a5 所以a2只能是3 4 5 若a2 3 则a4 5 a5 4 a1与a3是1或2 这时共有 2个符合条件的五位数 若a2 4 则a4 5 a1 a3 a5可以是1 2 3 共有 6个符合条件的五位数 若a2 5 则a4 3或4 此时分别与 1 2 情况相同 所以 满足条件的五位数有2 16个 答案 1 40 2 30 3 16 考点三组合应用题命题规律高考考查组合应用题主要体现在以下几个问题 带有 含 与 不含 至多 与 至少 的组合问题 均匀分堆问题 指标分配问题等 例3 1 6本不同的书分给甲 乙 丙3名同学 每人各得2本 有多少种不同的分法 2 现有8名青年 其中有5名能胜任英语翻译工作 有4名青年能胜任德语翻译工作 其中有1名青年两项工作都能胜任 现在要从中挑选5名青年承担一项任务 其中3名从事英语翻译工作 2名从事德语翻译工作 则有多少种不同的选法 3 2011年南昌二中质检一 将标号为1 2 10的10个球放入标号为1 2 10的10个盒子内 每个盒内放一个球 则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种 以数字作答 解析 1 90 2 可以分为三类 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作 有 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作 有 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作 有 一共有 42种方法 3 从10个盒中挑3个与球标号不一致 共种挑法 每一种挑法中 3个盒子与球标号全不一致的方法为2种 共有2 240种 答案 3 240 点评 带有 含 与 不含 至多 与 至少 的组合问题 其解题对策 一是用 直接分类法 根据题目条件按特殊元素的个数进行分类解决 二是用 排除法 先不考虑限制条件求出组合数 再排除不符合要求的组合数而得解 均匀分堆问题 要注意排除堆与堆之间在选取元素的过程中所产生的顺序 指标分配问题 其解题对策 采用 隔板法 来解决 互动变式3 1 有红 黄 蓝三种颜色的小球各5个 都分别标有字母a b c d e 现取出5个 要求字母各不相同且三种颜色齐备 有多少种取法 2 在排成4 4方阵的16个点中 中心4个点在某一圆内 其余12个点在圆外 在16个点中任选3个点构成三角形 其中至少有一个顶点在圆内的三角形有多少个 解析 1 三种颜色的取球个数为3 1 1或2 2 1 要求字母各不相同且三种颜色齐备 有 150种取法 2 按有1个 2个 3个顶点在圆内进行分类 共有 312个三角形 考点四排列组合综合应用题命题规律高考中这类问题以选择题或填空题形式出现 在本考点和前面3个考点中 高考通常会有一道选择题或填空题 例4 1 12名同学合影 站成前排4人后排8人 现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法的总数是 a b c d 2 某地奥运火炬接力传递路线共分6段 传递活动分别由6名火炬手完成 如果第一棒火炬手只能从甲 乙 丙三人中产生 最后一棒火炬手只能从甲 乙两人中产生 则不同的传递方案共有 种 用数字作答 解析 1 从后排8人中选2人共种选法 这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变 则先从4人中的5个空挡插入一人 有5种插法 余下的一人则要插入前排5人的空挡 有6种插法 故为 综上知选c 2 分两类 第一棒是丙有 48 第一棒是甲 乙中一人有 48 因此共有方案48 48 96种 答案 1 c 2 96 点评 排列组合问题从解法看 大致有以下几种 1 有附加条件的排列组合问题 大多需要用分类讨论的方法 注意分类时应不重不漏 2 排列与组合的混合型问题 用分类加法或分步乘法计数原理解决 3 元素相邻 可以看作是一个整体的方法 4 元素不相邻 可以利用插空法 5 间接法 把不符合条件的排列与组合剔除掉 6 穷举法 把不符合条件的所有排列或组合一一写出来 互动变式4从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数 试问 1 能组成多少个没有重复数字的七位数 2 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个 3 1 中的七位数中 偶数排在一起 奇数也排在一起的有几个 4 1 中任意两偶数都不相邻的七位数有几个 解析 1