名师导学高考数学一轮总复习 7.48 二项式定理及应用课件 理

第48讲二项式定理及应用 学习目标 1 能用计数原理证明二项式定理 熟练掌握二项展开式的通项公式 2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 A D 4 解析 由已知条件4n 2n 240 解得n 4 所以展开式中第4项的二项式系数为C43 4 4 设a Z 且0 a 13 若512015 a能被13整除 则a A 0B 1C 11D 12 D 解析 由于51 52 1 52 1 2015 C20150522015 C20151522014 C20152014521 1 又由于13 52 所以只需13 1 a 0 a 13 所以a 12 知识要点 1 二项式定理 a b n Cn0an Cn1an 1b Cnran rbr Cnnbn n N 这个公式所表示的定理叫做二项式定理 右边的多项式叫做 a b n的 其中的系数叫系数 与展开式中项的系数相同 2 a b n展开式中的Cnran rbr叫二项展开式的 用Tr 1表示 即Tr 1 Cnran rbr 展开式 Cnr r 0 1 n 二项式 不一定 通项 3 二项展开式的特点 1 项数为 项 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即a与b的指数的和为 3 字母a按 排列 从第一项开始 次数由n逐项减1直到零 字母b按 排列 从第一项起 次数由零逐项增1直到n n 1 n 降幂 升幂 等距离 Cnm Cnn m 2n 2n 1 2n 1 点评 求展开式中某特定 如有理项 常数项 或某指定项 如第r 1项 含xr的项 以及指定项的系数 二项式系数等问题是高考的一大热点 解析 设f x 2x 1 5 a0 a1x a2x2 a5x5 则f 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 f 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 3 5 243 1 因为a5 25 32 所以a0 a1 a2 a3 a4 f 1 32 31 2 a0 a1 a2 a5 a0 a1 a2 a3 a4 a5 f 1 243 点评 二项式定理给出的是一个等式 对于a b的一切值都成立 因此可将a b设为一些常见值 即 赋值法 对于a b赋以一些特定的值 是解决二项式问题的一种重要的思想方法 必须加以重视 在使用赋值法时 令a b等于多少 应就具体问题而定 有时可以取 1 有时取 1 也有时取其他值 5 2 在 1 x 3 1 x 10的展开式中 含x5的项的系数为 63 解析 1 x 3 1 x 10 1 3x 3x2 x3 1 x 10 要得到x5 当第一个因式取1时 1 x 10展开式取5次项 x5项系数为C105 当第一个因式取 3x时 1 x 10展开式取4次项 x5项系数为 3C104 当第一个因式取3x2时 1 x 10展开式取3次项 x5项系数为3C103 当第一个因式取 x3时 1 x 10展开式取2次项 x5项系数为 C102 x5项系数为C105 3C104 3C103 C102 63 3 若 2x 3 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则a1 2a2 3a3 4a4 5a5等于 10 解析 对 2x 3 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5两边同时求导得 10 2x 3 4 a1 2a2x 3a3x2 4a4x3 5a5x4 令x 1得a1 2a2 3a3 4a4 5a5 10 点评 本题求解的关键是将问题转化化归为二项式的相关问题 在求解过程中恰当应用多项式乘多项式的法则 点评 在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负 当然还须考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异 二项式系数只与二项式的指数和项数有关 与二项式无关 而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关 还与二项式有关 1 运用二项式定理一定要牢记通项Tr 1 Cnran rbr 注意 a b n与 b a n虽然相同 但具体到它们展开式的某一项是不相同的 我们一定要注意顺序问题 另外二项展开式的二项式系数与该项的 字母 系数是两个不同概念 前者只指Cnr 而后者是指字母外的部分 2 求二项展开式中指定的项 通常是先根据已知条件求r 再求Tr 1 有时还需先求n 再求r 才能求出Tr 1 3 有些三项展开式问题可以通过变形 变成二项式问题加以解决 有时也可以通过组合解决 但要注意分类清楚 不重不漏 4 对于二项式系数问题 首先要熟记二项式系数的性质 其次要掌握赋值法 赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段 5 近似计算首先要观察精确度 然后选取展开式中的若干项 6 用二项式定理证明整除问题 一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开 常采用 配凑法 消去法 配合整除的有关知识来解决 1 2013全国大纲 1 x 8 1 y 4的展开式中x2y2的系数是 A 56B 84C 112D 168 D 解析 1 x 8展开式中x2的系数是C82 1 y 4的展开式中y2的系数是C42 根据多项式乘法法则可得 1 x 8 1 y 4展开式中x2y2的系数为C82C42 28 6 168 命题立意 本题考查二项式定理知识 属中档题 命题立意 本题考查二项式定理 定积分与类比推理知识 属中档偏难题 1 设P 1 5 x 1 10 x 1 2 10 x 1 3 5 x 1 4 x 1 5 化简后P A x5B x 2 5C x 1 5D x 1 5 B 解析 逆用二项式定理 可知P 1 1 x 5 2 x 5 2 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 那么a2 a3 a4 a5 a6 a7 A 2B 2C 12D 12 D 解析 x 0时 a0 1 a1 C71 1 2 1 14 令x 1 则 1 7 a0 a1 a2 a7 a2 a3 a7 1 14 1 12 3 若n为奇数 则7n Cn1 7n 1 Cn2 7n 2 Cnn 1 7被9除所得余数为 A 8B 7C 2D 0 B 解析 7n Cn1 7n 1 Cn2 7n 2 Cnn 1 7 7 1 n 1 8n 1 9 1 n 1 9n Cn19n 1 Cn29n 2 Cnn 1 9 1 n 1 9n Cn19n 1 Cn29n 2 Cnn 1 9 2 原式加2能被9整除 原式被9除所得余数为7 C 解析 展开式中常数项为 5 1 4 C51 15 故选C 5 设a