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从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立贾随军，贾小勇，李保臻（西北师范大学教育学院，甘肃 兰州 ；重庆文理学院数学与统计学院，重庆 ）摘要：对协和音程的较低音调中存在较高音调这一现象的剖析引出了泛音概念。 对基音与泛音共存现象的深 入研究提出了简单模式叠加观念。 傅立叶在简单模式叠加观念的启发下建立了其级数理论。 从泛音的发现到傅立 叶级数理论的建立是一个漫长的历史过程，对此过程的历史考察是研究傅立叶级数理论的起源、实质及内核的重要 方面，同时也是揭示数学与音乐之间联系的重要视角。关键词：傅立叶级数；简单模式叠加观念；数学与音乐；泛音中图分类号：文献标志码：傅立叶（，）级数理论 经历近两百年的发展后已成为现代数学的核心研究领域 之 一。 一 方 面，它 与 偏 微 分 方 程 论、复 变 函 数 论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切关系。 另一方面，它是工程技术、经典物理及量子力学等学科 中 的 重 要 工 具，它 在 热 学、光 学、电 磁 学、医 学、空气动力学、仿生学、生物学等领域都有广泛的 应用。霍 华 德 伊 夫 斯 （）认 为 傅 立 叶级数的产生是数学发展史上里程碑式的事件。 傅立叶级数 理 论 的 创 建 与 声 乐 理论的研究关系密 切。 在声乐理论中，表示“泛音”，而在数与影响，因此，要真正弄清傅立叶级数理论产生的思想根源，对早期声乐理论中简单模式叠加观念的形 成与影响进行系统深入的历史考察实属必要。泛音的发现古希腊人发现了一个有趣的现象，拨弄一下琴 弦，这根琴弦除了发出一个响亮的音调外，还会发出 一个比此音调高八度的协和音，换句话讲，他们在八 度协和音程的较低音调中发现了较高音调，但反之 不然。 此现象说明古希腊人已经发现了泛音学学科中，表示“调和”， 表示“调和分析” ，同一词语 反复出现在 音乐与数学 中，这 既 非 偶 然 巧 合，亦 非 仅 仅 为 了 比 喻。 而恰恰能够说明艺术中最抽象的领域 音乐 与最抽象的科学 数学之间存在着实实在在的一 致性。 从历史的角度看，数学中作为调和分析基础 的傅立叶级数理论，其起源与创立受到早期声乐中 的泛音理论，特别是简单模式叠加观念的重要启发 。这一现象意味着同一根弦在同一瞬间发出了两 个音调，亚里士多德（，公元前 ） 曾对此感到十分困惑。 根据伽利略（ ，）的 研 究，频 率 是 决 定 音 高 的 本 质 要 素，那么这一现象则意味着同一条弦以两个频率振动。 事实上，梅森（ ，）和 世纪早期的一些学者对此现象仍然无法理解，一 个物体是否可以以多个频率振动呢？梅森认识到了收稿日期：基金 项 目：西北师范大学青 年教师科研提升项目 （，）；教育部人文社科项目 （）；重庆市教委科学技术研究项目（）。作者简介：贾随军，甘肃通渭人，西北师范大学教育学院副教授，科学技术史专业博士，从事近现代数学史研究。 贾小勇，甘肃通渭人，重庆文理学院数学与统计学院副教授，科学技术史专业博士，从事近现代数学史研究。 以傅立叶级数理论为基础产生了调和分析这门学科，经典调和分析通常被称为傅立叶分析，其主要内容为傅立叶级数与傅立叶积分 的应用，在经典调和分析理论的基础上，在具有代数、拓扑结构的抽象集合上也建立了相应的调和分析理论，称为抽象调和分析。 在一件乐器上奏出的任何一个音都伴随着一系列在它上方并与它有固定音程关系的音。 这些音是我们听到的单音的组成部分，但也 可以将它们分别奏出。 泛音列中最低的音（“基音”）是第一泛音，其次的最低音是第二泛音，依次类推。 （见牛津简明音乐词典）“泛音”这个词可能源于梭佛（，）的研究，梭佛称高于基音的这些音为“泛音”是因为它与基音是和谐的。这一 问 题 的 重 要 性，他 在 宇 宙 和 谐 （ （）中 讨 论 了 此 问 题。 他 指 出，一 条开放的弦（）可以同时产生至少五个音 调。 在安静的环境下，只要注意力集中并经过一定 训练的人都可以毫无困难地听到这些音调。 同时， 他还确认了这些音的音高：“我们可以听到不同于自然音的四种音调，这些 音调遵循数字， 之间的比值，第一个是八 度音（： ），第二个是十二度音（：），第三个是十 五度音（：），第四个是十七度音（：）。”梅森的讨论表明他已经意识到了一条弦除了基 音外发出的四个泛音，它们依次是第二泛音、第三泛 音、第四泛音、第五泛音。 在泛音列中，相对于基音 来说，越不协和的音离基音越远，音响也越弱，因而 产生的不协和性也是较弱的，自然法则将不协和音 安排在既远又弱的位置，所以并不会影响泛音列悦 耳的音响效果，相反还丰富了音响色彩。梅森发现 的泛音实际上都是协和音。 因为音调较高离基音较 远的一些泛音人耳不容易听辨出来。梅森确信八度音、十二度音、十五度音、十 七 度 音确实来源于同一条弦而不是其他弦的共振。 然而 让他感到困惑的是：弦为什么产生了一些特定的泛 音，这些泛音为什么同时产生。 他认为连续的弦应 当具有单一的运动，弦的所有部分应当在同一时间 内振动相同的次数。 在梅森看来，同一条弦有许多 频率似乎是不可能的。梅森虽然发现了泛音列中的一系列泛音，但他 对泛音的存在仍然感到困惑，因为他无法从物理学 的角度对泛音现象作出合理解释。泛音的认识英国数学家沃利 斯 （ ，） 以及法兰西学院数学教授梭佛 通过实验观察对泛 音现象作出了解释。沃利斯和梭佛都强调了节点是泛音产生的根本 原因。 沃利斯描述了他对节点的实验观察：振动弦 上环绕的一 些 小 纸 环 ，几乎在弦 上的每一处都在 剧烈的 抖 动，但 是 在 弦 的 各 等 分 点 处 基 本 是 静 止 的。 年在巴黎研究院的一次 学 术 会 议 中，梭 佛通过实验展示了节点与泛音之间的关系。 他通过 轻轻地按压或放置一个小的障碍物的方法使弦上的一个点保持静止（相当于节点），不管拨弄弦的哪一部分，弦产生了同样的音调，此音调高于整条弦振动 时产生的音调，从本质上讲，它是一个泛音。 如果把 一个障碍物在弦上轻轻地移动，那么就能够听到整 个泛音序列。 基于上述实验观察，沃利斯和梭佛断 言，节点就在弦的等分点上，一条弦之所以能够以较 高的频率振动（即发出泛音）是由于节点把这条弦分 成数量恰当的几等份，而各等分又能独立振动。 他 们相信在管乐器中有类似情形。 他们认为，使劲地 吹奏把管乐器（比如小号）中的空气分解成不同的部 分，这些部分产生短促的振动从而提高了声音，如果 分解成的这些部分都是等分的，那么就有乐声形成 沃利斯、梭佛等人通过对节点的强调把泛音与 弦的部分振动紧密地联系起来，并认为泛音的产生 服从一条重要的美学原则 均衡性（即节点等分 弦）。梭佛通过一个具体的例子对节点等分弦的现象 给出了解释。 他考虑了在一条弦的五分之一处有一 个障碍物的情形。 他解释说由于弦在障碍物处不能 振动，这个障碍物把弦分成了两部分。 较短部分（即 总长的五分之一）的振动频率对应于其长度，这个频 率是基频的五倍 。 较长部分（即总长的五分之四） “企图”以对应于其长度的较低的频率振动，但是连 接部分更加频繁的振动使它的运动频率加快，直到 它的一段（即总长的五分之一）部分获得这个较高的 频率。 这一 部 分 以 同 样 的 方 式 影 响 了 它 附 近 的 部 分，一直这样下去，直到最后整条弦被分成五个相等 的部分，每一部分的振动频率都是基频的五倍，发出 的音就是十七度音。（见图）同时梭佛认为频率较高的泛音是比较弱的，这就是我们一般能清晰地听到基音而只有在很专心时 才能听到泛音的原因。（图） ：，：，：，： 均表示频率的比值。 尽管他有明显的听力障碍，但他迷恋音乐，常常向音乐家请教问题，对音乐算术以及音乐物理学很感兴趣。 沃利斯为了展示节点的性质，事先在振动弦上环绕了一些小的纸环。 振动频率反比于弦的长度。简单模式叠加观念的提出虽然沃利斯和梭佛一样把泛音与弦的部分振动 紧密地联系起来，但沃利斯并没有明确地声明基音 与泛音是同步的。 而梭佛通过对管风琴的研究揭示 了重要事实 任何乐音均为泛音的组合，基 音 与 泛音是同步发生的。 管风琴是研究乐音基本成分以 及泛音结构的理想乐器。 由于经验与直觉的原因， 管风琴的制造者在理解泛音甚至在感觉到泛音存在 很久之前就已经利用泛音了。棱佛发现了振动弦的较高频率的振动，解释了 基音与泛音同时发生的现象，他认为，弦的实际运动 是基本模式与较高模式某种类型的叠加。丰特奈尔（）在总 结 梭 佛 的 研 究 时 更加明确地指出了这种叠加思想。 在解释基音与泛音可以同时听到这一事实时，丰特奈尔写道“在整条弦 振动的同时，每半条弦、每三分之一条弦、每四分之 一条弦都在振动。”梭佛的声学研究成果表明，一个单音是由一系 列 和谐的泛音构 成 的。 这一结果与牛顿 （ ，）提 出 的 “白 光 是 由 一 系 列 单 色光组成”的论断极其的相似。 梭佛已经意识到，乐 器产生的声音对应于由简单模式（包括基本模式与 较高模式）复合而成的复杂周期振动，简单模式的频 率是基本模式频率的整数倍，即泛音的频率是基音 频率的整数倍。 如果我们在电吉他上弹奏单音“哆 ”音，并把这 个 音 的 波 形 转 化 为 频 率 谱，那 么 这 个 频率谱中标记出的主要峰值的频率如图 所示。图 “哆 ”音的频率谱中的主要峰值的频率从图 可以看出，振幅最大的频率在 处，按 振幅大小排列的泛 音 的 频率 依 次 是 、是现在数学中称 为、，差 不 多 是 原 来 “哆”音频率的 倍、 倍、 倍、 倍、 倍，但这些频 率的幅度大小随着频率的增大而变小。若设基音 “哆”的频率为 ，则第二、第三、第四、第五、第六泛 音的频率分别为 ， ， ， ； 。在古希腊，常常用弦的长度来确定音 高。 如 果基音的弦长为，那么各阶泛音的弦长就是 ， ，调和级数的原因。 梭佛认为，耳朵能分辨出这些混合音的构成，基音决定了乐音的音高，而泛音列则确 定了乐音的音色。但梭佛并没有提及简 单 模式的形状 为正弦模 式。 就像伽利略、梅森一样，梭佛认为声音是一系列 的脉冲，而脉冲的精确形状对耳朵来说并不重要，真 正重要的是一系列脉冲的有序还是无序。 ， ， ，将 ， ， ， ， ， 相 加 就 相 当简单模式叠加观念的 深入与定量探讨于将基音与泛音合成一个音，反过来一个音可以分解成基音 与泛音 ， ， ， ， 的组合，这就梭佛虽已经有了简单模式叠加的观念，他认为 整条弦的振动称为基本模式，基本模式产生了基音；在整条弦振动的同时，部分弦也在振动，部分弦振动产生的频率高于 整 条 弦 振 动的频率，部分弦的振动称为较高模式，较高模式产生了泛音。国际标准的“哆”音的频率为。弦的实际运动是简单模式某种类型的叠加，基本模式产生了基音，而较高模式产生了泛音。 然而，他对 简单模式的认识是粗糙的，对于简单模式的形状以 及绝对频率等问题都还缺乏足够的认识。 总之，梭 佛对简单模式叠加观念的理解基本停留在定性的阶 段。 世纪，数学 家 以 弦 的 振 动 为 突 破 口，对 简 单 模式叠加观念进行 了 深 入与 定 量的 探 讨。 泰 勒（，）、约 翰 伯 努 利 （，）发 现 基 本 模 式 的 绝 对的结构。 丹尼尔 伯努利结合弦振动的图像分析了在某一确定时刻弦运动的状态。（图）频率是 （其中 表示弦的长度， 表示 槡弦所受到的张力， 表示弦的横截面面积， 表示构成弦的材料的密度），基本模式的形状为正弦形状。欧拉（，）与达朗贝尔（ ，）两 人 从 纯 数 学的角度来考虑弦振动问题，建立了弦振动的偏微 分方程，并通过偏微分方程的解来描述弦的振动状 态。 欧拉认为，在一些特殊情况下，弦的运动可以通 过简单模式叠加来刻画。丹 尼 尔 伯 努 利 （ ，）主要从物理角度考虑了弦振动问题，他认为任 何一个发声物体都以确定频率通过一系列简单模式 而振动。 年 他 发 现 垂 直 悬挂的链线有无穷个 简谐振动，他当时说，“从这个理论推导出符合 和我父亲 建立的音乐理论将是不困难的 实 验表明：在音乐弦中存在着类似于振动链的交点（节 点）。”他 认 为 无 穷 长 悬 链 线 的 情 形 适 合 于 音 乐 弦，在后来的一篇论文中，他作了如下说明：类似地，绷紧的乐器弦能够以很多方式，甚至按 理论上讲能 以 无 穷 多 种 方 式 发 生 等 时 振 动 此 外，在每一 种 模 式 中 它 发 生 较 高 的 或 较 低 的 音 调。 当弦振动产生一个单拱的时候发生了第一个和最自 然的模式，于是，弦产生最慢的振动，发出它的所有 可能音调中的最低音，对于其他一切音来说这是基 音。 下一个模式要求弦产生两个拱，位于（弦的静止 位置的）两边，于是振动加快一倍，这时弦发出基音 的高八度。（图）（图）（图）（图）（ 的长度用 表示）图 对应于弦振动的基本模式，由这个振动发 出的音就是基音，根据泰勒和约翰 伯努利的研究，弦的运动方程可表示为 （ 表示振幅）；图、图 、图 、图 对 应于弦振动的较 高 模式， 由这些振动发出的音分别是第二、第三、第四、第五 泛音，根据“较高模式仍然是正弦模式”的观点，对应 的弦的运动方程可分别表示为 ，以上论述表明，弦振动中的较高模式仍然是正弦模式，它们的频率是基本频率的倍数。 这些模式 可以通过叠加产生更加复杂的振动。 空气能够把各 种不同的声音传播到耳朵中而不至于相互混淆的现 ， ， ，（，表示振幅）。 由于基音与泛音是同时发生的，以及根据“简单模式的叠加总是保持个别模 式 的结构 ”的 观 点，那么总体上弦的运动状态（）可表示为象恰恰能够说明简单模式的叠加总是保持个别模式 （） 即约翰 伯努利。 不管以什么样的方式加热物体中的不同点，但 。（）物体初始的任意的温度体系都可以分解为类似于我如果认为弦的形状是任意的，那么丹尼尔 伯努利的结果（）意味着任一函数都可以表示为正弦 级数。 而在他看来，达朗贝尔和欧拉的解只不过是 简单模式（即正弦）的组合。 遗憾的是丹尼尔 伯努 利并没有确定这个级数的系数，随后，拉格朗日（ ，）部 分 地 解 决 了 这类级数的系数问题，可以说，丹尼尔 伯努利和拉 格朗日已经站在了傅立叶级数的大门口。傅立叶级数理论的建立傅立叶通过对热传导的研究建立了傅立叶级数 理论，他之所以能够成功建立其级数理论，简单模式 叠加观念的启发是一个非常重要的因素。在法国大革命时期，傅立叶曾在巴黎高等师范学 校短暂生活过，在此期间，他参加了阿雨（， ，）的物理学演讲，这个演讲其中有一章 是关于声学与音乐理论的。阿雨提到了沃利斯和梭佛 关于和谐振动与大量共振的实验，这是傅立叶了解简 单模式叠加观念的第一个来源。拉格朗日的分析力 学、拉普拉斯（，）的宇宙体系论则是另外两个主要来源。年傅立叶 在对虚速度原理进行证明的论文中，提到了简单模式叠加观念：著名的分析力学的作者已经非常漂亮地 分析了这个问题。利用这个解的结果，还可以进一步 证明一个重要的命题，这个命题是丹尼尔伯努利首 先提出并在一些特殊情况下证明了它：即物体的微小 振动由同时发生的简单振动构成，这些简单振动不会 相互干扰。傅立叶相信简单模式叠加观念的有效性、物理 学特征以及它与音乐和谐理论的关联性。 他对弦振 动问题的争论十分了解，他通过宣布简单模式叠加刚刚描述过的几种简单而又持久的状态。 这些状态 中的每一个独立于所有其他的状态而存在，它们不 会经受其他的任何变化，就好像它们是独立存在的。 这个相关的 分 解 并 不 是 一 个 纯 粹 理 性 与 分 析 的 结 果，它确确实实发生了，它的发生源于热的物理性质 真实的情况是，这些性质不像摆动的等时性以 及振动弦的共鸣一样可感知，但是可以通过观察建 立这些理论，在我的所有实验中，它们都变得非常清 晰。傅立叶认为，振动弦中的简单模式与热传导模式 具有相同程度的物理现实性。如果我们能够感觉到这 些热传导现象的发生，那么我们可以把它们比作是泛 音的共鸣。傅立叶在简单模式叠加观念的指引下成功 地解决了半无穷矩形薄片的热传导问题。该问题是， 假定一个无穷长矩形薄片 在基底 被加热，基底 的所有点都保持恒温，同时与基底 垂直的两个无穷 边 和 在每一点仍然受恒温的作用， 和 的距 离为 。见图。现在需要确定这个薄片任一点的驻温（）。（图）傅立叶建立的该问题的热传导方程为观念的一般性含蓄地认可了丹尼尔 伯努利的解。（ ）（） ， ， ， ， 。（）傅立叶始终坚持简单模式的物理现实性。年 月 日在向法国科学院口头陈述其热传导理 论时，他描述了物体的冷却过程：初始温度系统是这样的，一开始建立起来的物 体之间的温度比值在整个冷却期间不会发生任何变 化。 可以把这种奇异的状态比作是弦发出基音时所 呈现的状态，这两种状态共有的特性是一旦形成便 始终保持。 它由许多类似的形式，这些形式对应于 弹性弦中的泛音。 热在传导和扩散时并没有改变初 始分布率，对于每一个立体就有无穷多个简单模式在物理直觉的引导下，他获得了以下类型的一个 解（，）。傅立叶设想，每一瞬间从热源传递出来的热可以 分成不同的部 分，每 一 部 分 的 传 导 服 从 的 法 则。（，） 表 示 在 热 传导过程中一旦形成便保持不变的一个状态，类似于 振 动 弦 发 出 的 基 音； 而 方 程 （，），（，） 表 示 的 状 当 为无穷大时，（，）不可能成为无穷，因此， 只能取正值，另外，由（， ）可知 必须取奇数列。态则类似于振动弦发出的泛音列，热运动相对于它们中的每一个而发生，就像它们单独存在一样，所有 这些热运动不会彼此干扰，就像空气能够把各种不 同的声音传播到耳朵中而不至于相互混淆，就像简 单模式的叠加总是保持个别模式的结构一样。 随着 我们考虑其温度的点离原点愈远，热运动就愈不复 杂：因为只要距离 充分大，后一方程的右边相对于 前一方程的右边就非常小，因此，对于受热薄片离原 点愈来愈远的部分，薄片的状态就明显地由前三个 方程，或 前 两 个 方 程，或 仅 仅 由 第 一 个 方 程 来 表 示。这与泛音的快速衰减非常地相似。 因此可以 这样说，傅立叶考虑的矩形薄片是一个虚构的振动 弦。 正像简单模式叠加在一起构成了整个系统的运 动一样，特殊积分彼此添加在一起从而构成了热传 导方程的完全积分。 傅立叶正是利用简单模式叠加 观念才成功地构造了热传导方程（）的一般解（，） 。 （）把边界条件（，） 代入（）可得 。（）傅立叶通过求解一个无穷维的线性方程组最后 得到扩展到任意的无穷可微函数上。 他首先从奇函数情形入手，通过非常复杂的计算把一个无穷可微的奇 函数展为正弦级数。 随后傅立叶并没有停止探索的 脚步，在热的解析理论的第 目他这样写道：到目前为止，我们一直假定，需要以多重弧的正弦级数展开的函数，可以根据变量 的幂所安排的 级数展开，并 且 假 定 只 有 奇 数 次 幂 进 入 那 个 级 数。 我们可以把这同一结果扩展到任何函数上，甚至扩 展到那些不连续和完全任意的函数上。傅立叶在把一个无穷可微的奇函数展为正弦级 数的过程中找到了确定三角级数系数的简单易行的 方法，即利用三角函数系的正交性。 在这一方法的 指引下，傅立叶成功地把任一函数展为多重弧的正 弦和余弦级数，从而建立了其级数理论。结语泰勒、约翰 伯努利、傅立叶等人的研究表明， 任何复杂的 乐 声 都 可 以 通 过 一 系 列 形 如 的 正弦 函 数 表 示。 因 此，从 理 论 上 讲，完 全 可 以 由 音 叉来演奏 贝 多 芬 （，）第九交响曲。 傅立叶级数理论就像一座桥梁，沟通了数学与音乐之间的联系。 克莱因（ ，）在西方文化中的数学一书 。中对傅立叶的工作给予了高度的评价：傅立叶的工作还有其哲学意义。 美妙的音乐的从纯数学的角度来看，他对无穷矩形薄片问题 的考虑得到了一个非常重要的结论 把一个常数 展为余弦的无穷级数。 正是这一结果的获得使他看 到了把一个函数展为正弦或余弦的无穷级数的可能 性。 傅立叶在给出（）中， 的值之后，他在热的解析理论中写道：虽然我们刚才已经给出这些系数的值，但此处 我们只处理了一个更一般问题的一个个别情况，这 个更一般的问题在于以多重弧的正弦或余弦的无穷 级数来展开任一函数。 该问题与偏微分方程理论相 联系，并且，自那种分析产生以来，人们就一直试图 解决它。 为了对热传导方程进行积分，我们有必要 解决这个问题。傅立叶在简单模式叠加观念的指引下成功地解 决了半无穷矩形薄片的热传导问题，这一问题的解 决又成为启发他建立其级数理论的突破口。 接下来 傅立叶考虑如何把将一个常数展为余弦级数的方法本质当然主要是由数学分析提供的。 但是，通过傅立叶定理，这门庞大的艺