天津市东丽区2016届九年级上期中数学试卷含答案解析.doc

2015-2016学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1下列函数中，是二次函数的是( )ABy=（x+2）（x2）x2CD2方程（x+3）（x2）=0的解是( )Ax1=3，x2=2Bx1=3，x2=2Cx1=3，x2=2Dx1=3，x2=23如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是( )A2B2C4D44一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根，则b24ac满足的条件是( )Ab24ac=0Bb24ac0Cb24ac0Db24ac05是关于x的一元二次方程，则m的值应为( )Am=2BCD无法确定6若二次函数y=ax2+bx+a22（a、b为常数）的图象如图，则a的值为( )A1BCD27对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为( )A1B2C3D48如图所示，ABC绕点A旋转至AEF，其旋转角是( )ABAEBCAECEAFDBAF9下列说法正确的是( )A旋转改变图形的大小和形状B旋转中，图形的每个点移动的距离相同C经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等D经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等10如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，则旋转中心的坐标是( )A（0，0）B（1，0）C（1，1）D（2.5，0.5）11如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形ABCD的位置，旋转角为（090），若1=110，则=( )A10B20C25D3012如图是二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，x=1是对称轴，有下列判断：b2a=0；4a2b+c0；ab+c=9a；若（3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2，其中正确的是( )ABCD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13一元二次方程3x2+2x5=0的一次项系数是_14在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是_15根据图中的抛物线可以判断：当x_时，y随x的增大而减小；当x=_时，y有最小值16若一元二次方程（m2）x2+3（m2+15）x+m24=0的常数项是0，则m的值是_17关于x的方程mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当m=0时，方程只有一个实数解；当m0时，方程有两个不等的实数解；无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是_（填序号）18如图，抛物线y1=a（x+2）23与y2=（x3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论x取何值，y2的值总是正数；a=1； 当x=0时，y2y1=42AB=3AC其中正确结论是_三、解答题（本大题共7小题，共66分）19解方程：x22x=x220已知：关于x的方程2x2+kx1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值21如图所示，正方形ABCD的边长等于2，它绕顶点B按顺时针方向旋转得到正方形ABCD在这个旋转过程中：旋转中心是什么？若旋转角为45，边CD与AD交于F，求DF的长度22根据下列条件求m的取值范围（1）函数y=（m+3）x2，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；（2）函数y=（2m1）x2有最小值；（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=x2的形状相同-23某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？24在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论25如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx22mx3m（m0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求m的值2015-2016学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1下列函数中，是二次函数的是( )ABy=（x+2）（x2）x2CD【考点】二次函数的定义 【分析】整理一般形式后，根据二次函数的定义判定即可【解答】解：A、函数式整理为y=x2x，是二次函数，正确；B、函数式整理为y=4，不是二次函数，错误；C、是正比例函数，错误；D、是反比例函数，错误故选A【点评】本题考查二次函数的定义2方程（x+3）（x2）=0的解是( )Ax1=3，x2=2Bx1=3，x2=2Cx1=3，x2=2Dx1=3，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】先观察再确定方法解方程根据左边乘积为0的特点应用因式分解法【解答】解：根据题意可知：x+3=0或x2=0；即x1=3，x2=2故选B【点评】此题较简单，只要同学们明白有理数的乘法法则即可，即两数相乘等于0，那么其中一个数必然等于03如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是( )A2B2C4D4【考点】一元二次方程的解 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立【解答】解：把x=2代入方程x2=c可得c=4，故本题选C【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义4一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根，则b24ac满足的条件是( )Ab24ac=0Bb24ac0Cb24ac0Db24ac0【考点】根的判别式【分析】已知一元二次方程的根的情况，就可知根的判别式=b24ac值的符号【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，=b24ac0故选：B【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根5是关于x的一元二次方程，则m的值应为( )Am=2BCD无法确定【考点】一元二次方程的定义 【专题】计算题【分析】根据一元二次方程的定义，令2m1=2，求出m的值即可【解答】解：是关于x的一元二次方程，2m1=2，m=，故选C【点评】本题考查了一元二次方程的概念要知道，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程6若二次函数y=ax2+bx+a22（a、b为常数）的图象如图，则a的值为( )A1BCD2【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；数形结合【分析】根据图象开口向下可知a0，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可【解答】解：由图可知，函数图象开口向下，a0，又函数图象经过坐标原点（0，0），a22=0，解得a1=（舍去），a2=故选C【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键7对于抛物线y=（x+1）2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为( )A1B2C3D4【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解【解答】解：a=0，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线x=1，故本小题错误；顶点坐标为（1，3），正确；x1时，y随x的增大而减小，x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个故选C【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性8如图所示，ABC绕点A旋转至AEF，其旋转角是( )ABAEBCAECEAFDBAF【考点】旋转的性质 【分析】旋转后任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角【解答】解：点B与点E是一对对应点，点C与点F是一对对应点旋转角为BAE或CAF故选：A【点评】本题主要考查的是旋转角的定义，掌握旋转角的定义是解题的关键9下列说法正确的是( )A旋转改变图形的大小和形状B旋转中，图形的每个点移动的距离相同C经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等D经过旋转，图形的对应点的连线平行且相等【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质对各选项进行判断【解答】解：A、旋转不改变图形的大小和形状，所以A选项错误；B、旋转中，图形的每个点移动的距离不一定相同，所以B选项错误；C、经过旋转，图形的对应线段、对应角分别相等，所以C选项正确；D、经过旋转，图形的对应点的连线不一定平行或相等，所以D选项错误故选C【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等10如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC顶点的横、纵坐标都是整数若将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，则旋转中心的坐标是( )A（0，0）B（1，0）C（1，1）D（2.5，0.5）【考点】坐标与图形变化-旋转 【专题】数形结合【分析】先根据旋转的性质得到点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段AD的垂直平分线，也在线段BE的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心，而易得线段BE的垂直平分线为直线x=1，线段AD的垂直平分线为以AD为对角线的正方形的另一条对角线所在的直线【解答】解：将ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90得到DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，1），旋转中心的坐标为（1，1）故选C【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，18011如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形ABCD的位置，旋转角为（090），若1=110，则=( )A10B20C25D30【考点】旋转的性质 【分析】由B=D=90，可知：2+DAB=180，从而可求得DAB=70，=DAD=90DAB【解答】解：如图所示：B=D=90，2+DAB=180DAB=1802=180110=70=DAD，=90DAB=9070=20故选：B【点评】本题主要考查的是旋转的性质、四边形的内角和是360，求得BAD=70是解题的关键12如图是二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，x=1是对称轴，有下列判断：b2a=0；4a2b+c0；ab+c=9a；若（3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1y2，其中正确的是( )ABCD【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题；数形结合【分析】利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断【解答】解：抛物线的对称轴是直线x=1，=1，b=2a，b2a=0，故正确；抛物线的对称轴是直线x=1，和x轴的一个交点是（2，0），抛物线和x轴的另一个交点是（4，0），把x=2代入得：y=4a2b+c0，故错误；图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又b=2a，c=4a2b=8a，ab+c=a2a8a=9a，故正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（4，0），抛物线的对称轴是直线x=1，点（3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（1，y1），（，y2），1，y1y2，故正确；即正确的有，故选：B【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法同时注意特殊点的运用二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13一元二次方程3x2+2x5=0的一次项系数是2【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项根据定义即可求解【解答】解：一元二次方程3x2+2x5=0的一次项系数是：2故答案为：2【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）特别要注意a0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项14在平面直角坐标系中，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标 【专题】数形结合【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案【解答】解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，点（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2），故答案为（3，2）【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小15根据图中的抛物线可以判断：当x1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值【考点】二次函数的性质 【分析】要确定抛物线的单调性首先要知道其对称轴，然后根据对称轴来确定x的取值范围【解答】解：根据图象可知对称轴为x=（1+3）2=1，所以当x1时，y随x的增大而减小；当x=1时，y有最小值故填空答案：1；=1【点评】此题主要考查了函数的单调性与对称性16若一元二次方程（m2）x2+3（m2+15）x+m24=0的常数项是0，则m的值是2【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据题意可得m24=0，且m20，再解即可【解答】解：由题意得：m24=0，且m20，解得：m=2，故答案为：2【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是注意不要漏掉二次项系数不能等于0这一条件17关于x的方程mx2+xm+1=0，有以下三个结论：当m=0时，方程只有一个实数解；当m0时，方程有两个不等的实数解；无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）【考点】根的判别式；一元一次方程的解 【专题】分类讨论【分析】分别讨论m=0和m0时方程mx2+xm+1=0根的情况，进而填空【解答】解：当m=0时，x=1，方程只有一个解，正确；当m0时，方程mx2+xm+1=0是一元二次方程，=14m（1m）=14m+4m2=（2m1）20，方程有两个实数解，错误；把mx2+xm+1=0分解为（x+1）（mxm+1）=0，当x=1时，m1m+1=0，即x=1是方程mx2+xm+1=0的根，正确；故答案为【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元一次方程的解的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式的意义以及分类讨论的思想18如图，抛物线y1=a（x+2）23与y2=（x3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C则以下结论：无论x取何值，y2的值总是正数；a=1； 当x=0时，y2y1=42AB=3AC其中正确结论是【考点】二次函数综合题 【分析】根据与y2=（x3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）23即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可【解答】解：抛物线y2=（x3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）23得，3=a（1+2）23，解得a=，故本小题错误；由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）23解析式为y1=（x+2）23，当x=0时，y1=（0+2）23=，y2=（03）2+1=，故y2y1=+=，故本小题错误；物线y1=a（x+2）23与y2=（x3）2+1交于点A（1，3），y1的对称轴为x=2，y2的对称轴为x=3，B（5，3），C（5，3）AB=6，AC=4，2AB=3AC，故本小题正确故答案为：【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征三、解答题（本大题共7小题，共66分）19解方程：x22x=x2【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：x22x=x2，x（x2）（x2）=0，（x2）（x1）=0，x2=0，x1=0，x1=2，x2=1【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键20已知：关于x的方程2x2+kx1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值【考点】解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系 【专题】计算题；证明题【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有=b24ac0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根【解答】证明：（1）a=2，b=k，c=1=k242（1）=k2+8，无论k取何值，k20，k2+80，即0，方程2x2+kx1=0有两个不相等的实数根解：（2）把x=1代入原方程得，2k1=0k=1原方程化为2x2+x1=0，解得：x1=1，x2=，即另一个根为【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型21如图所示，正方形ABCD的边长等于2，它绕顶点B按顺时针方向旋转得到正方形ABCD在这个旋转过程中：旋转中心是什么？若旋转角为45，边CD与AD交于F，求DF的长度【考点】旋转的性质 【分析】将正方形绕顶点B旋转，故旋转中心为B点；由正方形的性质可知ABD=45，由旋转角为45可知ABA=45，从而可知点B、A、D三点在一条直线上，先利用勾股定理求得BD的长，从而可求得AD的长，在RtADF中利用勾股定理可求得DF的长度【解答】解：旋转中心为B点如图所示：旋转角为45，ABA=45四边形ABCD为正方形，ABD=45，ADF=45ABA=ABD点B、A、D三点在一条直线上在RtABD中，BD=2AD=BDBA，AD=22在RtADF中，DF=42【点评】本题主要考查的是正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用，依据正方形的性质和旋转的性质证得点B、A、D三点在一条直线上，从而求得AD的长度是解题的关键22根据下列条件求m的取值范围（1）函数y=（m+3）x2，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大；（2）函数y=（2m1）x2有最小值；（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=x2的形状相同-【考点】二次函数的性质 【分析】（1）由当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大，可知m+30，进一步求得m的取值范围即可；（2）二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，即2m10，进一步求得m的取值范围即可；（3）两个抛物线的形状相同，说明二次项系数相同，即m+2=，求得m的数值即可【解答】解：（1）函数y=（m+3）x2，当x0时，y随x的增大而减小，当x0时，y随x的增大而增大，m+30，解得m3；（2）函数y=（2m1）x2有最小值，2m10，解得：m；（3）抛物线y=（m+2）x2与抛物线y=x2的形状相同，m+2=，解得：m=【点评】本题考查了二次函数的性质，能根据解析式推知函数图象是解题的关键，另外要能准确判断出函数的对称轴23某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用 【专题】计算题【分析】根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当x=14时，所获得的利润最大【解答】解：设销售单价定为x元（x10），每天所获利润为y元，则y=10010（x10）（x8）=10x2+280x1600=10（x14）2+360所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键，属于中档题24在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论【考点】坐标与图形变化-旋转；全等三角形的判定；正方形的性质；扇形面积的计算 【专题】综合题；压轴题【分析】（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出AOM的度数；（3）利用全等把MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子【解答】解：（1）A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45，OA旋转了45OA在旋转过程中所扫过的面积为（2）MNAC，BMN=BAC=45，BNM=BCA=45BMN=BNMBM=BN又BA=BC，AM=CN又OA=OC，OAM=OCN，OAMOCNAOM=CON=（AOCMON）=（9045）=22.5旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为4522.5=22.5（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化证明：延长BA交y轴于E点，则AOE=45AOM，CON=9045AOM=45AOM，AOE=CON又OA=OC，OAE=18090=90=OCNOAEOCNOE=ON，AE=CN又MOE=MON=45，OM=OM，OMEOMNMN=ME=AM+AEMN=AM+CN，p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化【点评】本题用到的知识点是：扇形面积=，求一些线段的长度或角的度数