2019_2020学年高中数学2.3.2抛物线的简单几何性质（2）（含解析）新人教A版选修.docx

课时作业20抛物线的简单几何性质(2)知识点一 直线与抛物线的交点问题1.过点(2,4)作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析由题意知，点(2,4)在抛物线y28x上，所以过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行故选B.2已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？解将直线l和抛物线C的方程联立得消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，方程(*)只有一个解，为x，此时y1.直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，方程(*)为一元二次方程，(2k4)24k2，当0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点.知识点二 中点弦问题3.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为_答案yx解析由题意知，抛物线C的方程为y24x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把A，B代入抛物线方程得得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)又y1y24，1.直线l的方程为y2x2，即yx.知识点三 直线与抛物线位置关系的综合应用4.过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则A1FB1等于()A.45B.90C.60D.120答案B解析如图，由抛物线定义知|AA1|AF|，|BB1|BF|，所以AA1FAFA1.又AA1FA1FO，所以AFA1A1FO.同理BFB1B1FO.于是AFA1BFB1A1FOB1FOA1FB1.故A1FB190.故选B.5已知点P在直线xy50上，点Q在抛物线y22x上，求|PQ|的最小值解设与直线xy50平行且与抛物线y22x相切的直线方程是xym0，则由消去x得y22y2m0，令48m0，得m，因此|PQ|的最小值等于直线xy50与xy0间的距离，即等于.一、选择题1直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k()A.2或2B.1或1C.2D.3答案C解析由得k2x24(k2)x40.又由42(k2)216k20，得k1.则由4，得k2.故选C.2已知抛物线y28x，过点P(3,2)引抛物线的一弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线l的方程为()A.2xy40B.2xy40C.2xy40D.2xy40答案A解析设l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y8x1，y8x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又P(3,2)是AB的中点，y1y24.又直线l的斜率存在，直线l的斜率k2，直线l的方程为2xy40，故选A.3过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的值为()A.4B.4C.p2D.p2答案B解析解法一：设过焦点F的直线方程为xmy.联立得y22pmyp20.由根与系数的关系，得y1y2p2.又x1，x2，所以x1x2.于是4.故选B.解法二：采用特例法，当直线与x轴垂直时，易得A，B，4.故选B.4设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B.2,2C.1,1D.4,4答案C解析设直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，得消去x得到关于y的方程ky28y16k0.当k0时，直线与抛物线有一个交点；当k0时，令6464k20，解得1k0或0且a0解析由得ax2x10.由题意得解得a且a0.7抛物线yx2上到直线2xy40的距离最短的点的坐标是_答案(1,1)解析把直线2xy40平移至与抛物线yx2相切时，切点即为所求设此时直线方程为2xyb0，联立yx2，得x22xb0，由题意得44b0，b1.即x22x10，解x1，y1.8O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为抛物线C上一点，若|PF|4，则POF的面积为_答案2解析由y24x知：焦点F(，0)，准线x.设P点坐标为(x0，y0)，则x04，x03，y4324，|y0|2，SPOF22.三、解答题9已知yxm与抛物线y28x交于A、B两点(1)若|AB|10，求实数m的值；(2)若OAOB，求实数m的值解由得x2(2m8)xm20.0解得m2，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m28m.(1)因为|AB|10，所以m.(2)因为OAOB，所以x1x2y1y2m28m0，解得m8，m0(舍去)10已知AOB的一个顶点为抛物线y22x的顶点，点A，B都在抛物线上，且AOB90，证明：直线AB必过一定点证明设OA所在直线的方程为ykx，则直线OB